Question

СРОЧНО ДАМ 30 б Найдите наибольшее и наименьшее значение заданной функции на заданном отрезке без помощи производной 1) у= х^3 -4 , [0;3] 2) у=5-(3х+6), [-2;0] 3) у= -2 sinx +1 , [п/3;5П/6] 4) у= корень из 1+ sinx, [0; П/2]

Answer 1

Задача

Найдите наибольшее и наименьшее значение заданной функции на заданном отрезке, без использования производной.

1) $y = x^3 - 4$, на отрезке $[0, 3]$ 2) $y = 5 - (3x + 6)$, на отрезке $[-2, 0]$ 3) $y = -2 \sin(x + 1)$, на отрезке $[\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}]$ 4) $y = \sqrt{1 + \sin(x)}$, на отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$

Решение

1) $y = x^3 - 4$, на отрезке $[0, 3]$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на заданном отрезке, мы можем вычислить значения функции в конечных точках отрезка и в критических точках внутри отрезка.

Наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке можно найти следующим образом:

- Вычисляем значение функции в конечных точках отрезка: - Для $x = 0$: $y = 0^3 - 4 = -4$ - Для $x = 3$: $y = 3^3 - 4 = 23$

- Вычисляем значение функции в критической точке внутри отрезка: - Найдем производную функции и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки: - $y' = 3x^2$ - $3x^2 = 0$ - $x = 0$

- Подставляем найденное значение $x$ в функцию, чтобы найти значение $y$: - При $x = 0$: $y = 0^3 - 4 = -4$

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке $[0, 3]$ равно 23, а наименьшее значение равно -4.

2) $y = 5 - (3x + 6)$, на отрезке $[-2, 0]$

Аналогично предыдущему примеру, для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на заданном отрезке, мы можем вычислить значения функции в конечных точках отрезка и в критических точках внутри отрезка.

- Вычисляем значение функции в конечных точках отрезка: - Для $x = -2$: $y = 5 - (3(-2) + 6) = -1$ - Для $x = 0$: $y = 5 - (3(0) + 6) = -1$

- Вычисляем значение функции в критической точке внутри отрезка: - Найдем производную функции и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки: - $y' = -3$ - $-3 = 0$

- Подставляем найденное значение $x$ в функцию, чтобы найти значение $y$: - При $x = -2$: $y = 5 - (3(-2) + 6) = -1$

Таким образом, наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке $[-2, 0]$ равно -1.

3) $y = -2 \sin(x + 1)$, на отрезке $[\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}]$

Аналогично предыдущим примерам, для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на заданном отрезке, мы можем вычислить значения функции в конечных точках отрезка и в критических точках внутри отрезка.

- Вычисляем значение функции в конечных точках отрезка: - Для $x = \frac{\pi}{3}$: $y = -2 \sin(\frac{\pi}{3} + 1) \approx -1.732$ - Для $x = \frac{5\pi}{6}$: $y = -2 \sin(\frac{5\pi}{6} + 1) \approx -1.732$

- Вычисляем значение функции в критической точке внутри отрезка: - Найдем производную функции и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки: - $y' = -2 \cos(x + 1)$ - $-2 \cos(x + 1) = 0$

- Подставляем найденное значение $x$ в функцию, чтобы найти значение $y$: - При $x = \frac{\pi}{3}$: $y = -2 \sin(\frac{\pi}{3} + 1) \approx -1.732$

Таким образом, наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке $[\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{6}]$ примерно равно -1.732.

4) $y = \sqrt{1 + \sin(x)}$, на отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$

Аналогично предыдущим примерам, для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на заданном отрезке, мы можем вычислить значения функции в конечных точках отрезка и в критических точках внутри отрезка.

- Вычисляем значение функции в конечных точках отрезка: - Для $x = 0$: $y = \sqrt{1 + \sin(0)} = 1$ - Для $x = \frac{\pi}{2}$: $y = \sqrt{1 + \sin(\frac{\pi}{2})} = \sqrt{2}$

- Вычисляем значение функции в критической точке внутри отрезка: - Найдем производную функции и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки: - $y' = \frac{\cos(x)}{2\sqrt{1 + \sin(x)}}$ - $\frac{\cos(x)}{2\sqrt{1 + \sin(x)}} = 0$ - $\cos(x) = 0$

- Подставляем найденное значение $x$ в функцию, чтобы найти значение $y$: - При $x = \frac{\pi}{2}$: $y = \sqrt{1 + \sin(\frac{\pi}{2})} = \sqrt{2}$

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$ примерно равно $\sqrt{2}$, а наименьшее значение равно 1.