Question

Знайдіть суму перших дев*ять членів арифметичної прогресії (аn), якщо а4=70, а2=-10

Answer 1

Задача включає в себе арифметичну прогресію зі сталим кроком (d), яка може бути визначена за формулою:

\[ a_n = a_1 + (n-1)d \]

де: - \( a_n \) - n-й член прогресії, - \( a_1 \) - перший член прогресії, - \( n \) - номер члена прогресії, - \( d \) - різниця між двома послідовними членами.

В даній задачі ми маємо \( a_2 = -10 \) та \( a_4 = 70 \). Знаючи це, ми можемо знайти значення \( a_1 \) та \( d \).

Спочатку скористаємося формулою для \( a_2 \):

\[ a_2 = a_1 + (2-1)d \]

Підставимо дані:

\[ -10 = a_1 + d \]

Тепер використаємо формулу для \( a_4 \):

\[ a_4 = a_1 + (4-1)d \]

Підставимо дані:

\[ 70 = a_1 + 3d \]

Тепер у нас є система двох рівнянь з двома невідомими:

1. \[ -10 = a_1 + d \] 2. \[ 70 = a_1 + 3d \]

Розв'язавши цю систему, ми отримаємо значення \( a_1 \) та \( d \).

Отримаємо, що \( a_1 = -40 \) та \( d = 30 \).

Тепер, коли ми знаємо значення \( a_1 \), \( d \) та формулу для \( a_n \), ми можемо знайти суму перших дев'яти членів арифметичної прогресії. Формула для суми перших n членів арифметичної прогресії виглядає наступним чином:

\[ S_n = \frac{n}{2} \left[2a_1 + (n-1)d\right] \]

Підставимо значення \( a_1 = -40 \), \( d = 30 \) та \( n = 9 \):

\[ S_9 = \frac{9}{2} \left[2(-40) + (9-1)30\right] \]

Обчислімо це:

\[ S_9 = \frac{9}{2} \left[-80 + 240\right] \]

\[ S_9 = \frac{9}{2} \times 160 \]

\[ S_9 = 720 \]

Отже, сума перших дев'яти членів арифметичної прогресії дорівнює 720.