Question

розв язати нерівність а) 9(в степені -х) > 27 б) 8(в степені -х) > 16 в) 3(в степені 8-2х) < 1 г)4(в степені 3+5х) > 1

Answer 1

Давайте решим каждую из данных неравенств:

а) \(9^{-x} > 27\)

Для начала преобразуем обе стороны неравенства:

\[9^{-x} > 27\]

Мы знаем, что \(27 = 3^3\), так что мы можем записать:

\[9^{-x} > 3^3\]

Теперь представим обе стороны неравенства с одной и той же основой (в данном случае, 3):

\[(3^2)^{-x} > 3^3\]

Сократим степень:

\[3^{-2x} > 3^3\]

Теперь у нас есть одинаковые основания, и мы можем сравнить экспоненты:

\[-2x > 3\]

Разделим обе стороны на -2 (обратим внимание на изменение знака при делении на отрицательное число):

\[x < -\frac{3}{2}\]

б) \(8^{-x} > 16\)

Аналогично представим \(16\) с основанием \(8\), так как \(16 = 8^2\):

\[(2^3)^{-x} > 2^4\]

\[2^{-3x} > 2^4\]

Сравним экспоненты:

\[-3x > 4\]

Разделим обе стороны на \(-3\):

\[x < -\frac{4}{3}\]

в) \(3^{8-2x} < 1\)

Мы хотим избавиться от отрицательной степени, поэтому воспользуемся тем, что \(a^{-b} = \frac{1}{a^b}\):

\[\frac{1}{3^{2x-8}} < 1\]

Умножим обе стороны на \(3^{2x-8}\) (обратим внимание, что знак неравенства не меняется при умножении на положительное число):

\[1 < 3^{2x-8}\]

Теперь представим \(1\) с основанием \(3\):

\[3^0 < 3^{2x-8}\]

Сравним экспоненты:

\[0 < 2x - 8\]

Добавим 8 к обеим сторонам:

\[8 < 2x\]

Разделим обе стороны на 2:

\[4 < x\]

г) \(4^{3+5x} > 1\)

Поскольку \(4^0 = 1\), данное неравенство выполняется для любого значения \(x\). Таким образом, решение для г) - любое значение \(x\).