Question

Докажите что выражение 27^2-18^2 кратно 5

Answer 1

Ответ: Выражение 27^2-18^2 кратно 5, потому что оно равно разности квадратов двух нечетных чисел, которые имеют разную четность по модулю 5. Докажем это более формально.

Пусть a и b - два нечетных числа, то есть a = 2k + 1 и b = 2m + 1 для некоторых целых k и m. Тогда a^2 - b^2 = (2k + 1)^2 - (2m + 1)^2 = 4(k^2 + k - m^2 - m) + 2. Заметим, что 4(k^2 + k - m^2 - m) делится на 5, если и только если 2 делится на 5, то есть никогда. Поэтому, чтобы a^2 - b^2 делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы 2 делилось на 5. Это возможно, если и только если a и b имеют разную четность по модулю 5, то есть одно из них делится на 5, а другое нет.

В нашем случае, a = 27 и b = 18, и они удовлетворяют этому условию, так как 27 делится на 5, а 18 - нет. Следовательно, 27^2-18^2 кратно 5.