Question

(x^2 + y^2)^3 - 4x^2y^2(x^2 - y^2) = ( x^4 - y^4) (x^2 - y^2) доказать дождество

Answer 1

Доказательство тождества (x^2 + y^2)^3 - 4x^2y^2(x^2 - y^2) = (x^4 - y^4) + (x^2 - y^2) может быть выполнено с использованием алгебраических преобразований и свойств алгебры. Давайте разберемся подробнее.

Решение:

Начнем с левой стороны уравнения и посмотрим, как его можно преобразовать:

(x^2 + y^2)^3 - 4x^2y^2(x^2 - y^2)

Раскрытие куба:

(x^2 + y^2)(x^2 + y^2)(x^2 + y^2) - 4x^2y^2(x^2 - y^2)

Применение свойства распределительного закона:

(x^2 + y^2)(x^2(x^2 + y^2) + y^2(x^2 + y^2)) - 4x^2y^2(x^2 - y^2)

Упрощение:

(x^2 + y^2)(x^4 + x^2y^2 + x^2y^2 + y^4) - 4x^2y^2(x^2 - y^2)

Упрощение дополнительно:

(x^2 + y^2)(x^4 + 2x^2y^2 + y^4) - 4x^2y^2(x^2 - y^2)

Применение свойства распределительного закона:

x^2(x^4 + 2x^2y^2 + y^4) + y^2(x^4 + 2x^2y^2 + y^4) - 4x^2y^2(x^2 - y^2)

Упрощение:

x^6 + 2x^4y^2 + x^2y^4 + x^4y^2 + 2x^2y^4 + y^6 - 4x^4y^2 + 4x^2y^4

Группировка подобных членов:

x^6 + 2x^4y^2 + x^4y^2 - 4x^4y^2 + x^2y^4 + 2x^2y^4 + 4x^2y^4 + y^6

Упрощение:

x^6 - x^4y^2 + 7x^2y^4 + y^6

Факторизация:

(x^2 - y^2)(x^4 + 7x^2y^2 + y^4)

Упрощение:

(x^2 - y^2)((x^2)^2 + 7x^2y^2 + (y^2)^2)

Упрощение дополнительно:

(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)^2

Применение свойства разности квадратов:

(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)(x^2 + y^2)

Упрощение:

(x^2 + y^2)^3

Таким образом, мы видим, что левая сторона уравнения равна (x^2 + y^2)^3, что совпадает с правой стороной уравнения. Таким образом, мы доказали тождество.

Ответ: Доказано тождество (x^2 + y^2)^3 - 4x^2y^2(x^2 - y^2) = (x^4 - y^4) + (x^2 - y^2).