Question

Сумма строго и четвертого членов геометрической прогрессии равна -30, а сумма третьего и пятого членов -90. Найдите знаменатель этой прогрессии.

Answer 1

Пусть знаменатель геометрической прогрессии равен q, а первый член равен a.

Тогда, по определению геометрической прогрессии, второй член равен a*q, третий член - a*q^2, четвертый - a*q^3, пятый - a*q^4 и так далее.

Из условия задачи имеем:

a*q^3 + a*q^4 = -30 (1) - сумма строго и четвертого членов равна -30

a*q^2 + a*q^4 = -90 (2) - сумма третьего и пятого членов равна -90

Вычтем из уравнения (2) уравнение (1), чтобы избавиться от a:

(a*q^2 + a*q^4) - (a*q^3 + a*q^4) = -90 - (-30)

a*q^2 - a*q^3 = -60 (3)

Теперь выразим a*q^2 через a*q^3 из уравнения (3):

a*q^2 - a*q^3 = -60

a*q^2 * (1 - q) = -60

a*q^2 = -60 / (1 - q)

Теперь подставим это выражение для a*q^2 в уравнение (1):

a*q^3 + a*q^4 = -30

(-60 / (1 - q)) * q^3 + (-60 / (1 - q)) * q^4 = -30

-60*q^3 / (1 - q) - 60*q^4 / (1 - q) = -30

-60*q^3 - 60*q^4 = -30*(1 - q)

-60*q^3 - 60*q^4 = -30 + 30*q

-60*q^3 - 60*q^4 + 30 - 30*q = 0

-60*q^3 - 60*q^4 - 30*q + 30 = 0

Теперь найдем знаменатель q, решив полученное уравнение.