Question

3log8^2(-x)-2log8(-x)-1=0

Answer 1

Чтобы решить уравнение \(3\log_8^2(-x) - 2\log_8(-x) - 1 = 0\), давайте введем замену, чтобы упростить его форму. Обозначим \(\log_8(-x)\) как \(y\), тогда у нас будет следующая система уравнений:

\[ \begin{cases} y^2 = \log_8^2(-x) \\ y = \log_8(-x) \end{cases} \]

Теперь мы можем переписать исходное уравнение с использованием введенных обозначений:

\[3y^2 - 2y - 1 = 0\]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\) и формулу корней квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).

В данном случае: \[a = 3, \quad b = -2, \quad c = -1\]

Вычислим дискриминант: \[D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16\]

Так как дискриминант положителен, у нас есть два действительных корня. Подставим их в формулу корней:

\[y = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm 4}{6}\]

Таким образом, у нас есть два значения \(y\): \[y_1 = \frac{1}{3}, \quad y_2 = -1\]

Теперь мы можем вернуться к исходной переменной \(x\) с учетом замены:

\[y_1 = \log_8(-x) \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{3} = \log_8(-x)\]

Для \(y_1\) решение будет:

\[-x = 8^{\frac{1}{3}}\]

Теперь найдем значение \(x\):

\[x = -8^{\frac{1}{3}}\]

Аналогично, для \(y_2\) решение будет:

\[-x = 8^{-1}\]

Теперь найдем значение \(x\):

\[x = -\frac{1}{8}\]

Таким образом, уравнение \(3\log_8^2(-x) - 2\log_8(-x) - 1 = 0\) имеет два решения:

\[x_1 = -8^{\frac{1}{3}}, \quad x_2 = -\frac{1}{8}\]