Question

Решите пожалуйста ∫ e ^(tgx) / cos ^2 x dx

Answer 1

Для решения данного интеграла ∫(e^(tgx))/(cos^2(x)) dx, мы можем использовать метод замены переменной. Давайте разберемся, как это сделать подробно.

Шаг 1: Замена переменной

Пусть u = tg(x). Тогда мы можем выразить dx через du следующим образом:

dx = du/(cos^2(x))

Шаг 2: Замена переменной в интеграле

Теперь заменим переменную x на u в нашем интеграле. Получим:

∫(e^u)/(cos^2(x)) * dx = ∫(e^u)/(1 + u^2) * du

Шаг 3: Решение нового интеграла

Мы получили новый интеграл ∫(e^u)/(1 + u^2) du. Чтобы его решить, мы можем использовать метод частичной дроби или метод интегрирования по частям.

Решение методом интегрирования по частям

Давайте решим этот интеграл методом интегрирования по частям. Для этого мы воспользуемся формулой:

∫u * v' dx = u * v - ∫v * u' dx

Выбор u и v'

Выберем u = 1/(1 + u^2) и v' = e^u.

Вычисление u' и v

Продифференцируем u и найдем v:

u' = d(1/(1 + u^2))/du = -2u/(1 + u^2)^2 v = ∫e^u du = e^u

Подстановка в формулу интегрирования по частям

Подставим значения u, v', u' и v в формулу интегрирования по частям:

∫(e^u)/(1 + u^2) du = (1/(1 + u^2)) * e^u - ∫((e^u)*(-2u/(1 + u^2)^2)) du

Упрощение

Упростим полученное выражение:

∫(e^u)/(1 + u^2) du = (1/(1 + u^2)) * e^u + 2 * ∫(u * e^u)/(1 + u^2)^2 du

Шаг 4: Решение нового интеграла

У нас остался интеграл ∫(u * e^u)/(1 + u^2)^2 du. Чтобы его решить, мы можем использовать метод частичной дроби или метод интегрирования по частям.

Решение методом интегрирования по частям

Давайте решим этот интеграл методом интегрирования по частям. Для этого мы воспользуемся формулой:

∫u * v' dx = u * v - ∫v * u' dx

Выбор u и v'

Выберем u = u/(1 + u^2)^2 и v' = e^u.

Вычисление u' и v

Продифференцируем u и найдем v:

u' = d(u/(1 + u^2)^2)/du = (1 - 3u^2)/(1 + u^2)^3 v = ∫e^u du = e^u

Подстановка в формулу интегрирования по частям

Подставим значения u, v', u' и v в формулу интегрирования по частям:

∫(u * e^u)/(1 + u^2)^2 du = (u/(1 + u^2)^2) * e^u - ∫(((1 - 3u^2)/(1 + u^2)^3) * e^u) du

Упрощение

Упростим полученное выражение:

∫(u * e^u)/(1 + u^2)^2 du = (u/(1 + u^2)^2) * e^u + ∫((1 - 3u^2)/(1 + u^2)^3) du

Шаг 5: Решение последнего интеграла

Оставшийся интеграл ∫((1 - 3u^2)/(1 + u^2)^3) du можно решить путем разложения на простейшие дроби и использования метода частичных дробей.

После разложения и интегрирования получим:

∫((1 - 3u^2)/(1 + u^2)^3) du = -u/(1 + u^2) + 2/(1 + u^2)^2 + C

где C - произвольная постоянная.

Шаг 6: Подстановка обратных замен

Теперь, чтобы получить окончательное решение исходного интеграла, подставим обратные замены:

u = tg(x)

∫(e^(tgx))/(cos^2(x)) dx = (1/(1 + u^2)) * e^u + 2 * (-u/(1 + u^2) + 2/(1 + u^2)^2) + C

где C - произвольная постоянная.

Окончательный ответ: ∫(e^(tgx))/(cos^2(x)) dx = (1 + 2cos^2(x))/(cos^2(x)(1 + tg^2(x))) + C