Question

Найти интеграл: ∫(1-2x)dx/√(3x^2+x)

Answer 1

Чтобы найти интеграл ∫(1-2x)dx/√(3x^2+x), мы можем использовать метод подстановки. Давайте разберемся в этом подробнее.

Метод подстановки

1. Сначала мы заменяем переменную в интеграле. Для этого выберем подходящую замену. В данном случае, выберем замену u = √(3x^2 + x). Для этой замены, нужно найти производную du/dx.

Выражение для u: u = √(3x^2 + x) Производная du/dx: du/dx = (d/dx)(√(3x^2 + x))

2. Теперь найдем dx в новых переменных. Для этого решим уравнение u = √(3x^2 + x) относительно x.

Из уравнения u = √(3x^2 + x) получим: u^2 = 3x^2 + x 3x^2 + x - u^2 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение относительно x, используя квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0: a = 3, b = 1, c = -u^2

Применим формулу дискриминанта для нахождения корней: D = b^2 - 4ac D = 1^2 - 4 * 3 * (-u^2) D = 1 + 12u^2

Так как квадратное уравнение имеет действительные корни, D >= 0: 1 + 12u^2 >= 0 12u^2 >= -1 u^2 >= -1/12

Так как u^2 не может быть отрицательным, это условие выполняется для всех действительных u.

Положим dx = du / (2√(3x^2 + x))

3. Теперь заменим dx и подставим новые переменные в исходный интеграл:

∫(1-2x)dx/√(3x^2+x) = ∫(1-2x)(du / (2√(3x^2 + x))) = (1/2) ∫(1-2x) du / √(3x^2 + x)

4. Упрощаем интеграл и продолжаем его вычисление:

(1/2) ∫(1-2x) du / √(3x^2 + x) = (1/2) ∫(1-2x) du / u

Теперь мы можем интегрировать по переменной u:

(1/2) ∫(1-2x) du / u = (1/2) ln|u| + C

5. Подставляем обратные замены для u и x:

(1/2) ln|u| + C = (1/2) ln|√(3x^2 + x)| + C

Таким образом, интеграл ∫(1-2x)dx/√(3x^2+x) равен (1/2) ln|√(3x^2 + x)| + C, где C - произвольная постоянная.