Question

Решите уравнение (x^2-3x)^2+3(x^2-3x)-28=0

Answer 1

Давайте решим уравнение step by step. Исходное уравнение:

\[(x^2 - 3x)^2 + 3(x^2 - 3x) - 28 = 0\]

Обозначим \(y = x^2 - 3x\), тогда уравнение примет вид:

\[y^2 + 3y - 28 = 0\]

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого можно воспользоваться формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

\[y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

где у нас \(a = 1\), \(b = 3\), и \(c = -28\). Подставим значения:

\[y = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28)}}{2 \cdot 1}\]

\[y = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}\]

\[y = \frac{-3 \pm \sqrt{121}}{2}\]

\[y = \frac{-3 \pm 11}{2}\]

Таким образом, у нас два возможных значения для \(y\):

1. \(y_1 = \frac{-3 + 11}{2} = 4\) 2. \(y_2 = \frac{-3 - 11}{2} = -7\)

Теперь вернемся к исходной подстановке \(y = x^2 - 3x\):

1. \(x^2 - 3x = 4\) 2. \(x^2 - 3x = -7\)

Для первого уравнения добавим 4 к обеим сторонам:

\[x^2 - 3x - 4 = 0\]

Теперь можно попробовать разложить квадратное уравнение на множители или воспользоваться квадратным корнем.

\[x = \frac{3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1}\]

\[x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2}\]

\[x = \frac{3 \pm 5}{2}\]

Таким образом, у нас есть два корня:

1. \(x_1 = 4\) 2. \(x_2 = -1\)

Теперь рассмотрим второе уравнение:

\[x^2 - 3x + 7 = 0\]

Это уравнение не имеет действительных корней, так как дискриминант (\(b^2 - 4ac\)) отрицателен. Таким образом, второго корня для второго уравнения нет.

Итак, у нас есть два решения для исходного уравнения:

1. \(x = 4\) 2. \(x = -1\)