Question

Объясните пожалуйста как это решить! Докажите, что: sin 9п/28 cos 5п/28-sin 6п/35 cos п/35=1/2-1/2 sin п/5

Answer 1

Давайте рассмотрим данное уравнение и посмотрим, как его можно решить.

Исходное уравнение: \[ \sin\left(\frac{9\pi}{28}\right) \cos\left(\frac{5\pi}{28}\right) - \sin\left(\frac{6\pi}{35}\right) \cos\left(\frac{\pi}{35}\right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \sin\left(\frac{\pi}{5}\right) \]

Для начала, давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами. Нам известно тригонометрическое тождество для разности углов: \[ \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \]

Мы видим подобную структуру в исходном уравнении, поэтому давайте попробуем преобразовать его с использованием этого тождества.

\[ \sin\left(\frac{9\pi}{28} - \frac{6\pi}{35}\right) = \sin\left(\frac{9\pi}{28}\right) \cos\left(\frac{6\pi}{35}\right) - \cos\left(\frac{9\pi}{28}\right) \sin\left(\frac{6\pi}{35}\right) \]

Теперь давайте заменим это значение в исходном уравнении:

\[ \sin\left(\frac{9\pi}{28} - \frac{6\pi}{35}\right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \sin\left(\frac{\pi}{5}\right) \]

Теперь у нас есть новое уравнение, и мы можем решить его относительно \(\sin\left(\frac{\pi}{5}\right)\).

\[ \sin\left(\frac{\pi}{5}\right) = \frac{1}{2} - \sin\left(\frac{9\pi}{28} - \frac{6\pi}{35}\right) \]

Теперь остается найти значение \(\sin\left(\frac{9\pi}{28} - \frac{6\pi}{35}\right)\). Для этого нужно привести знаменатели к общему знаменателю, а затем воспользоваться тригонометрическими тождествами.

\[ \frac{9\pi}{28} - \frac{6\pi}{35} = \frac{45\pi}{140} - \frac{48\pi}{140} = -\frac{3\pi}{140} \]

Теперь мы можем использовать тригонометрическое тождество \(\sin(-\theta) = -\sin(\theta)\):

\[ \sin\left(-\frac{3\pi}{140}\right) = -\sin\left(\frac{3\pi}{140}\right) \]

Теперь мы можем подставить это значение в наше уравнение:

\[ \sin\left(\frac{\pi}{5}\right) = \frac{1}{2} + \sin\left(\frac{3\pi}{140}\right) \]

Теперь остается решить это уравнение относительно \(\sin\left(\frac{\pi}{5}\right)\). Воспользуемся тригонометрическим тождеством \(\sin(-\theta) = -\sin(\theta)\):

\[ \sin\left(\frac{\pi}{5}\right) = \frac{1}{2} - \sin\left(\frac{3\pi}{140}\right) \]

Теперь вы можете решить это уравнение численно, используя калькулятор с тригонометрическими функциями, чтобы найти значение \(\sin\left(\frac{\pi}{5}\right)\).