Question

1)Найдите общий вид первообразных для функции:     2) Вычислите интегралы   3) Найдите площадь фигуры ограниченной линиями, ,    4)Вычислите:      5) Решите уравнение:

Answer 1

1) $f(x)=\frac{1}{3sin^{2}x} +\frac{1}{x^{3}}\\ F(x)=\frac{-ctg x}{3} -\frac{1}{2x^{2}}+c;$

c є R

$f(x)=1+cos \frac{x}{4};\\ F(x)=x+4sin \frac{x}{4}+c;$

 

2) $\int\limits^1_0 {\frac{dx}{(2x+1)^3}} \ =\\\frac{1}{2}\int\limits^1_0 {\frac{d(2x+1)}{(2x+1)^3}} \ =\\ \frac{1}{2}(- \frac{1}{2(2x+1)^2})|\limits^{1}_0 =\\\frac{1}{2}(- \frac{1}{2(2x+1)^2})|\limits^1_0 =\\ - \frac{1}{4(2x+1)^2})|\limits^1_0 =- \frac{1}{4(2*1+1)^2}+\frac{1}{4(2*0+1)^2}=\frac{1}{4}-\frac{1}{36}=\frac{9-1}{36}=\frac{8}{36}=\frac{2}{9}$

 

$\int\limits^\frac{\pi}{8}_0 {(1-2sin^2 2x)} \, dx =\\ \int\limits^\frac{\pi}{8}_0 {cos (4x)} \, dx= \frac{1}{4}sin(4x)| \limits^\frac{\pi}{8}_0=\\ \frac{1}{4}(sin (4*\frac{\pi}{8})-sin(4*0))=\\ 0.25*(1-0)=0.25$

 

3) Ищем точки пересечения

$-x^2-4=x+4;\\-x^2-4-x-4=0;\\ x^2+x+8=0;\\D=1-4*1*8$

точек пересечения нет, фигура неограничена, найти площадь не представляется возможным

4) $\sqrt[3] {-2\sqrt{2}}+\sqrt[6] {2}\sqrt [3]{2}=\\ \sqrt[3] {(-\sqrt{2})^3}+\sqrt[6] {2}\sqrt [6]{2^2}=\\ -\sqrt{2}+\sqrt[6] {2*2^2}=\\ -\sqrt{2}+\sqrt[6] {2^3}=\\ -\sqrt{2}+\sqrt {2}=0$

$\sqrt[4]{7+4\sqrt{3}}\ *\sqrt{2-\sqrt{3}}=\\ \sqrt[4]{4+4\sqrt{3}+3}\ *\sqrt{2-\sqrt{3}}=\\ \sqrt[4]{2^2+2*2\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2}\ *sqrt{2-\sqrt{3}}=\\ \sqrt[4]{(2+\sqrt{3})^2}\ *\sqrt{2-\sqrt{3}}=\\ \sqrt[4]{(2+\sqrt{3})^2}\ *\sqrt{2-\sqrt{3}}=\\ \sqrt{2+\sqrt{3}}\ *\sqrt{2-\sqrt{3}}=\\ \sqrt{2^2-(\sqrt{3})^2}=\\ \sqrt{4-3}=1$

5) $\sqrt{x^2+x-3}=\sqrt{1-2x};\\ x^2+x-3 \geq 0; 1-2x \geq 0;\\ x^2+x-3=1-2x;\\ x^2+3x-4=0;\\ (x+4)(x-1)=0; \\ x_1=-4;\\ x_2=1;$

1-2*1<0 - корень 1 не подходит

-4 удовлетворяет

ответ: -4