Question

Найдите количество совпадающих членов у двух арифметических прогрессий 3;15;27;...;363 и 7; 12; 17;...352.

Answer 1

1) Для первой прогрессии:
$a_{n}=a_{1}+d*(n-1)=3+12*(n-1)=3+12n-12=12n-9$
Для второй прогрессии:
$t_{k}=t_{1}+d*(k-1)=7+5*(k-1)=7+5k-5=2+5k$
2) Несколько членов этих прогрессий совпадают:
$12n-9=2+5k$
$k= \frac{12n-11}{5}$
k∈N, n∈N
3) Решим уравнение в натуральных числах:
Пусть $12n-11=5l$, l∈N, тогда:
$12n=5l+11$ - левая часть делится на 12, значит и правая делится на 12, значит:
$l=12m+5$, m∈N, то $5l+11=5*(12m+5)+11=60m+36$ - делится на 12, тогда $12n=60m+36$, т.е. $n=5m+3$.

4) Всего членов в первой прогрессии:
$a_{n}=363=12n-9$
$n= \frac{363+9}{12}=31$

Всего членов во второй прогрессии:
$2+5k=352$
$k=70$

5) Тогда:
$0\ \textless \ 5m+3 \leq 31$
$-0.6\ \textless \ m \leq 5.6$
m=1, 2, 3, 4, 5
n=8, 13, 18, 23, 28
k=17, 29, 41, 53, 65.

Всего одинаковых 5 членов.

Проверка:
1) n=8, k=17
$a_{8}=12*8-9=87$
$t_{17}=2+5*17=87$
верно.
2) n=13, k=29
$a_{13}=12*13-9=147$
$t_{29}=2+5*29=147$
верно.
И так далее.

Ответ: 5