Question

Срочно нужно помогите!!!!!!!!!!!!!!!!вещественные числа x, y,z таковы что 1/x+1/y+1/z=0. докажите, что xy/ x^2+ yz/ x^2+ zx/ y^2=3

Answer 1

В условии опечатка, на самом деле нужно доказать, что 
xy/z²+ yz/x²+ zx/y²=3. Если привести это к общему знаменателю, то будет
(xy)³+(yz)³+(xz)³=3x²y²z².
Условие 1/x+1/y+1/z=0 равносильно yz+xz+xy=0.
Поэтому, если обозначить xy=a, yz=b, xz=c, то задача сводится к тому, чтобы доказать, что из a+b+c=0 следует a³+b³+c³=3abc.
Возведём обе части равенства -с=a+b в куб и раскроем куб суммы: -c³=(a+b)³=a³+b³+3ab(a+b)=a³+b³-3abc. Что и требовалось.

Answer 2

$Dokazat:\; \; \frac{xy}{z^2} + \frac{yz}{x^2} + \frac{zx}{y^2}=3\; ,\; \; esli\; \; \; \frac{1}{x} +\frac{1}{y} +\frac{1}{z} =0\; .\\\\\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} =\frac{yz+zx+xy}{xyz} =0\; \; \to \; \; xy+yz+zx=0\; \; (xyz\ne 0)\\\\\\Formyla:\\\\a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc\\\\\\ (xy)^3+(yz)^3+(zx)^3=\underbrace {(xy+yz+zx)}_{0}\cdot ((xy)^2+(yz)^2+(zx)^2-\\\\-xy^2z-yz^2x-zx^2y)+3x^2y^2z^2\\\\(xy)^3+(yz)^3+(zx)^3=3x^2y^2z^2\; |:x^2y^2z^2$

$\frac{(xy)^3}{x^2y^2z^2}+\frac{(yz)^3}{x^2y^2z^2}+\frac{(zx)^3}{x^2y^2z^2} =3\\\\ \frac{xy}{z^2}+\frac{yz}{x^2}+\frac{zx}{y^2} =3$