Question

Срочно помогите, пожалуйста, решить!!!

Answer 1

1) Дано неравенство $log_{ \frac{1}{2} }x\ \textless \ log_ \frac{1}{2} (2x+6)+2.$
ОДЗ: 2х + 6 > 0, 2x > -6,   x > -3.
Число 2 представим в виде логарифма числа (1/4) по основанию (1/2), то есть $2=log_ \frac{1}{2} \frac{1}{4} .$.
Сумму логарифмов заменим на логарифм произведения.
$log_ \frac{1}{2}x\ \textless \ log_ \frac{1}{2}((2x+6)* \frac{1}{4} ).$
При равенстве оснований логарифмируемые выражения равны (но меняем знак неравенства при основании, меньшем 1).
$x\ \textless \ (2x+6)* \frac{1}{4} .$
$4x\ \textgreater \ 2x+6.$
$4x-2x\ \textgreater \ 6.$
2x > 6 или x > 3.
Ответ: x > 3.

2) $log_ \frac{1}{3} (x^2-2) \geq -1.$
ОДЗ: х² - 2 >0.
          x > √2,
          x < -√2.
По определению логарифма $( \frac{1}{3})^{-1} \geq x^{2} -2.$
Или 3 ≥ x² - 2.
x² ≤ 5.
Отсюда х₁ ≤ √5,
              x₂ ≥ -√5.
С учётом ОДЗ ответ: 
-√5 ≤ х < -√2,   √2 < x ≤ √5.

3) $log_ \frac{1}{3}(log_4( x^{2} -5))\ \textgreater \ 0.$
ОДЗ: а) х² - 5 > 0,
             x > √5,
             x < -√5.
        б)  $log_4( x^{2} -5) \ \textgreater \ 0.$
             $4^0\ \textless \ x^{2} -5.$
             $1\ \textless \ x^{2} -5.$
             $x^{2} \ \textgreater \ 6$
Отсюда х > √6.
              x < -√6.
По определению логарифма $( \frac{1}{3})^0\ \textless \ log_4( x^{2} -5).$
$1\ \textless \ log_4( x^{2} -5).$
Отсюда $4^1\ \textgreater \ x^{2} -5.$
$x^{2} \ \textless \ 9.$
x₁ < 3.
x₂ > -3.
С учётом ОДЗ ответ:
-3 < x < -√6,
√6 < x < 3.