Question

Найти рациональные корни уравнения.(2x^2-1)+x(2x-1)^2=(x+1)^2+16x^2-6

Answer 1

Скорее всего в условии ошибка. Представляю исправленное условие.

$(2x^2-1)^2+x(2x-1)^2=(x+1)^2+16x^2-6\\ \\ x(2x-1)^2+(2x^2-1)^2-(x+1)^2-16x^2+6=0\\ \\ x(2x-1)^2+4x^4-4x^2+1-x^2-2x-1-16x^2+6=0\\ \\ x(2x-1)^2+4x^4-21x^2-2x+6=0\\ \\ x(2x-1)^2+4x^4-2x^3+2x^3-x^2-20x^2+10x-12x+6=0$

$x(2x-1)^2+2x^3(2x-1)+x^2(2x-1)-10x(2x-1)-6(2x-1)=0\\\\ x(2x-1)^2+(2x-1)(2x^3+x^2-10x-6)=0\\ \\ (2x-1)(2x^2-x+2x^3+x^2-10x-6)=0\\ \\ (2x-1)(2x^3+3x^2-11x-6)=0$

Произведение равно нулю в том случае, когда хотя бы один из множителей обращается к нулю.

$2x-1=0~~~\Rightarrow~~~ \boxed{x_1=0.5}$

$2x^3+3x^2-11x-6=0\\ \\ 2x^3-4x^2+7x^2-14x+3x-6=0\\ \\ 2x^2(x-2)+7x(x-2)+3(x-2)=0\\ \\ (x-2)(2x^2+7x+3)=0\\ \\ x-2=0~~~\Rightarrow~~~ \boxed{x_2=2}\\ \\ 2x^2+7x+3=0\\\\ D=b^2-4ac=7^2-4\cdot 2\cdot 3=25\\ \\ x_3=\dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\dfrac{-7+5}{2\cdot 2}=\boxed{-0.5}\\ \\ x_4=\dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\dfrac{-7-5}{2\cdot 2}=\boxed{-3}$

Если же в условии все в порядке, то решение следующее.

$2x^2-1+x(2x-1)^2=(x+1)^2+16x^2-6\\ \\ 2x^2-1+x\cdot (4x^2-4x+1)=x^2+2x+1+16x^2-6\\ \\ 4x^3+2x^2-1-4x^2+x-17x^2-2x+5=0\\ \\ 4x^3-19x^2-x+4=0$

Решим это кубическое уравнение методом Кардано

Поделим обе части последнего уравнения на 4

$x^3-4.75x^2-0.25x+1=0$

Здесь коэффициенты $a=-4.75;~ b=-0.25,~~c=1$

$Q=\dfrac{a^2-3b}{9}=\dfrac{(-4.75)^2-3\cdot (-0.25)}{9}\approx2.59\\ \\ R=\dfrac{2a^3-9ab+27c}{54}=\dfrac{2\cdot (-4.75)^3-9\cdot (-4.75)\cdot (-0.25)+27\cdot 1}{54}\approx-3.667$

$S=Q^3-R^2\approx 3.931$

Поскольку S > 0 то кубическое уравнение имеет три действительных корня

$\phi =\dfrac{1}{3}\arccos\bigg|\dfrac{R}{\sqrt{Q^3}}\bigg|\approx 0.882$

$x_1=-2\sqrt{Q}\cos \phi-\dfrac{a}{3}\approx -0.463\\ \\ x_2=-2\sqrt{Q}\cos (\phi +\frac{2\pi}{3})-\dfrac{a}{3}\approx 4.758\\ \\ x_3=-2\sqrt{Q}\cos (\phi -\frac{2\pi}{3})-\dfrac{a}{3}\approx 0.454$