Question

25 БАЛЛОВ решить систему уравнений:

Answer 1

Одз:
x>0
y>0
решаем:
$lgx+lgy=2 \\lg(x*y)=2 \\x*y=10^2 \\x*y=100 \\x= \frac{100}{y} \\(\frac{100}{y} )^2+y^2=425 \\ \frac{100^2}{y^2} +y^2=425 \\y^4-425y^2+10000=0 \\y^2=t,\ t \in [0;+\infty) \\t^2-425t+10000=0 \\D=425^2-10^4*4=(5^2*17)^2-5^4*2^4*4=5^4*17^2-5^4*2^6=\\=5^4*(17^2-2^6)=5^4*(289-64)=5^4*225=5^4*3^2*5^2=5^6*3^2=\\=(5^3*3)^2 \\t_1= \frac{425-5^3*3}{2} = \frac{5^2*17-5^3*3}{2} = \frac{25(17-15)}{2} =25 \\t_2= \frac{5^2*17+5^3*3}{2}= \frac{25(17+15)}{2}= \frac{25*32}{2}=400 \\y^2=25 \\y=\pm 5 \\y^2=400 \\y=\pm 20$
так как x и y по одз положительны, то отбрасываем все отрицательные значения:
$y_1=5 \\x_1= \frac{100}{5} =20 \\y_2=20 \\x_2= \frac{100}{20} =5$
Ответ: (20;5), (5;20)