Question

y=sqrt(4x^2-x-3)y=x(lnx)^2 Найти интервалы монотонности функций

Answer 1

Первая.

Сначала определяем область определения. 4x^2-x-3>=0

Корни квадратного уравнения -3/4 и 1. Методом интервалов находим что ОДЗ (функция имеет смысл) от –оО до -3/4 и от 1 до +оО.

Далее ищем экстремумы, т.е. точки, в которых производная равна 0.

y’ = (0.5 / sqrt(4x^2-x-3)) * (8*x-1) = 0

А дальше легко.

Данная функция монотонно убывает от +оО до 0 в точке х = -3/4. Далее функция неопределена. А затем при х=1, когда у=0, функция монотонно возрастает до +оО.

Вторая.

Аналогично:

ОДЗ: х>0

Ищем производную, приравниваем к 0:

y’ = ln^2(x) +x*(2*ln(x)*1/x) = ln^2(x)+2*ln(x) = ln(x)*(ln(x)+2) = 0

Первый корень ln(x) = 0 => x=1

Второй корень ln(x) = -2 =>x = e^(-2)

Итак, от 0 (не включительно) функция монотонно возрастает от –оО, где в точке х= e^(-2) достигает значения у = 4*e^(-2) – это локальный максимум, затем монотонно убывает до значения у=0 в точке х=1 – это локальный минимум, затем монотонно возрастает до бесконечности.

Answer 2

Интервалы монотонности функций

Для нахождения интервалов монотонности функций y = sqrt(4x^2 - x - 3) и y = x(lnx)^2, мы должны проанализировать производные этих функций и исследовать их знаки на различных интервалах.

Давайте начнем с первой функции y = sqrt(4x^2 - x - 3):

1. Найдем производную функции y по x: - y' = (1/2) * (4x^2 - x - 3)^(-1/2) * (8x - 1)

2. Решим уравнение y' = 0, чтобы найти критические точки: - (1/2) * (4x^2 - x - 3)^(-1/2) * (8x - 1) = 0 - (8x - 1) = 0 - x = 1/8

3. Исследуем знаки производной на различных интервалах: - При x < 1/8, производная отрицательна. - При x > 1/8, производная положительна.

Таким образом, функция y = sqrt(4x^2 - x - 3) монотонно возрастает на интервале (1/8, +∞) и монотонно убывает на интервале (-∞, 1/8).

Теперь рассмотрим вторую функцию y = x(lnx)^2:

1. Найдем производную функции y по x, используя правило производной произведения: - y' = (lnx)^2 + 2x(lnx)(1/x) - y' = (lnx)^2 + 2lnx

2. Решим уравнение y' = 0, чтобы найти критические точки: - (lnx)^2 + 2lnx = 0 - ln^2(x) + 2ln(x) = 0 - ln(x)(ln(x) + 2) = 0

Здесь мы видим, что уравнение имеет два решения: x = 1 и x = e^(-2).

3. Исследуем знаки производной на различных интервалах: - При x < e^(-2), производная отрицательна. - При x > e^(-2), производная положительна.

Таким образом, функция y = x(lnx)^2 монотонно возрастает на интервале (e^(-2), +∞) и монотонно убывает на интервале (0, e^(-2)).

Ответ:

Интервалы монотонности для функций: 1. Для функции y = sqrt(4x^2 - x - 3): - Функция монотонно возрастает на интервале (1/8, +∞). - Функция монотонно убывает на интервале (-∞, 1/8).

2. Для функции y = x(lnx)^2: - Функция монотонно возрастает на интервале (e^(-2), +∞). - Функция монотонно убывает на интервале (0, e^(-2)).

Примечание: Пожалуйста, обратите внимание, что эти интервалы монотонности могут быть изменены, если учитывать другие факторы, такие как точки перегиба и экстремумы функций.