Question

Интеграл 1 от -1 (4x^3-3x^2+6x-4)Помогите пожалуйста

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Для решения данного интеграла, мы можем использовать метод интегрирования по частям или метод подстановки. Давайте воспользуемся методом интегрирования по частям.

Решение:

Для интеграла ∫(4x^3 - 3x^2 + 6x - 4) dx, мы можем разложить его на сумму интегралов от каждого слагаемого: ∫(4x^3 - 3x^2 + 6x - 4) dx = ∫(4x^3) dx - ∫(3x^2) dx + ∫(6x) dx - ∫(4) dx

Теперь применим метод интегрирования по частям к каждому интегралу:

1. ∫(4x^3) dx: Для этого интеграла, выберем u = x^3 и dv = 4 dx. Тогда du = 3x^2 dx и v = 4x. Применяя формулу интегрирования по частям ∫u dv = uv - ∫v du, получаем: ∫(4x^3) dx = (4x)(4x) - ∫(4x)(3x^2) dx = 16x^2 - 12∫(x^3) dx

2. ∫(3x^2) dx: Для этого интеграла, выберем u = x^2 и dv = 3 dx. Тогда du = 2x dx и v = 3x. Применяя формулу интегрирования по частям ∫u dv = uv - ∫v du, получаем: ∫(3x^2) dx = (3x)(x^2) - ∫(3x)(2x) dx = 3x^3 - 6∫(x^2) dx

3. ∫(6x) dx: Для этого интеграла, выберем u = x и dv = 6 dx. Тогда du = dx и v = 6x. Применяя формулу интегрирования по частям ∫u dv = uv - ∫v du, получаем: ∫(6x) dx = (6x)(x) - ∫(6x)(1) dx = 6x^2 - 6∫(x) dx

4. ∫(4) dx: Этот интеграл просто равен 4x.

Теперь, подставим полученные значения обратно в исходный интеграл: ∫(4x^3 - 3x^2 + 6x - 4) dx = 16x^2 - 12∫(x^3) dx - 3x^3 + 6∫(x^2) dx + 6x^2 - 6∫(x) dx + 4x + C

Теперь, осталось найти значения интегралов ∫(x^3) dx, ∫(x^2) dx и ∫(x) dx.

Вычисление интегралов:

1. ∫(x^3) dx: Для вычисления этого интеграла, мы можем использовать формулу для интегрирования степенной функции. ∫(x^3) dx = (1/4)x^4 + C1

2. ∫(x^2) dx: Для вычисления этого интеграла, мы также можем использовать формулу для интегрирования степенной функции. ∫(x^2) dx = (1/3)x^3 + C2

3. ∫(x) dx: Для вычисления этого интеграла, мы можем использовать формулу для интегрирования линейной функции. ∫(x) dx = (1/2)x^2 + C3

Теперь, подставим значения интегралов обратно в исходный интеграл: ∫(4x^3 - 3x^2 + 6x - 4) dx = 16x^2 - 12((1/4)x^4 + C1) - 3x^3 + 6((1/3)x^3 + C2) + 6x^2 - 6((1/2)x^2 + C3) + 4x + C

Упростим выражение: ∫(4x^3 - 3x^2 + 6x - 4) dx = 16x^2 - 3x^3 + 2x^3 + 6x^2 - 3x^2 + 4x - 12C1 + 6C2 - 6C3 + C

Таким образом, окончательный ответ: ∫(4x^3 - 3x^2 + 6x - 4) dx = 2x^3 + 19x^2 + 4x - 12C1 + 6C2 - 6C3 + C

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.