Question

Цифры четырехзначного числа записали в обратном порядке и из большего числа вычли меньшее. Докажите,что разность делится на 9

Answer 1

9999-1000=8999:9=999.8 разность делится с остатком

Answer 2

Давайте обозначим четырехзначное число как \(abcd\), где \(a\), \(b\), \(c\), и \(d\) - цифры в разрядах тысяч, сотен, десятков и единиц соответственно.

Тогда число, записанное в обратном порядке, будет \(dcba\).

Итак, вычтем меньшее число из большего:

\[ \begin{align*} & dcba \\ - & abcd \\ \hline & wxyz \end{align*} \]

Получаем число \(wxyz\).

Теперь докажем, что разность \(wxyz\) делится на 9. Мы можем выразить \(wxyz\) следующим образом:

\[ wxyz = (1000w + 100x + 10y + z) = 999w + 99x + 9y + (w + x + y + z) \]

Таким образом, разность делится на 9, если и только если \(w + x + y + z\) делится на 9. Это связано с тем, что 999, 99 и 9 являются кратными 9, и если остаток от деления \(w + x + y + z\) на 9 равен нулю, то и остаток от деления \(wxyz\) на 9 также будет равен нулю.

Таким образом, если цифры четырехзначного числа записаны в обратном порядке и разность между большим и меньшим числом делится на 9, то исходное четырехзначное число также делится на 9.