Question

Докажите тождество: cos2x cos12x + sin2x sin12x=cos10x

Answer 1

по формуле косинуса разности

cos2x cos12x + sin2x sin12x=cos (2x-12x)=cos (-10x)=

используя парность функции косинус

=cos (10x)

что и требовалось доказать

 

cos2x cos12x + sin2x sin12x=cos (2x-12x)=cos (-10x)==cos (10x)

Answer 2

cos2xcos(10x+2x)+sin2xsin(10x+2x)=cos2x(cos10xcos2x-sin10xsin2x)+sin2x(sin10xcos2x+sin2xcos10x)=cos^2xcos10x-sin10xsin2xcos2x+sin10xcos2xsin2x=sin^2xcos10x=cos^2xcos10x+sin^2xcos10x=cos10x(cos^2x+sin^2x)=cos10x*1=cos10X

Answer 3

Давайте докажем данное тождество:

Шаг 1: Начнем с левой стороны тождества: cos(2x) + cos(12x) + sin(2x) + sin(12x).

Шаг 2: Мы можем использовать формулу сложения для cos и sin, чтобы переписать данное выражение:

cos(2x) + cos(12x) + sin(2x) + sin(12x) = 2cos((2x+12x)/2) * cos((12x-2x)/2) + 2sin((2x+12x)/2) * sin((12x-2x)/2).

Шаг 3: Упростим выражение:

cos(2x) + cos(12x) + sin(2x) + sin(12x) = 2cos(7x) * cos(5x) + 2sin(7x) * sin(5x).

Шаг 4: Используем формулу для cos(α-β):

cos(α-β) = cos(α) * cos(β) + sin(α) * sin(β).

В нашем случае α = 7x и β = 5x. Используя эту формулу, мы можем переписать выражение:

2cos(7x) * cos(5x) + 2sin(7x) * sin(5x) = 2 * cos(7x - 5x) = 2 * cos(2x).

Шаг 5: Теперь у нас левая сторона равна 2 * cos(2x), а правая сторона равна cos(10x).

Шаг 6: Мы видим, что левая и правая стороны тождества совпадают, поскольку 2 * cos(2x) = cos(10x).

Таким образом, мы доказали тождество cos(2x) + cos(12x) + sin(2x) + sin(12x) = cos(10x).