Question

С помощь введения новой переменной решите уравнение (x^4 + x^2)^2 - x^4 - x^2 = 2

Answer 1

$(x^{4}+x^{2} )^{2}-(x^{4}+x^{2})=2$. 
Пусть $a=x^{4}+x^{2}$.
Тогда исходное уравнение принимает вид 
$a^{2}-a-2=0$.
Его корни равны $a_{1,2} = \frac{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^{2}-4 \cdot1\cdot(-2)} }{2\cdot1} = \frac{1\pm 3}{2}$.
Возвращаемся к замене: $x^{4}+x^{2}=2$ или $x^{4}+x^{2} =-1$. 
Корни первого уравнения равны $x_{1,2} = \pm \sqrt{ \frac{-1\pm \sqrt{1-4\cdot(-2)\cdot1} }{2} }=\pm\sqrt \frac{{-1\pm3}}{2}$.
Второе уравнение действительных решений не имеет, т.к. сумма четных степеней какого-либо действительного числа неотрицательна.
В итоге, действительные корни: $x=\pm1$.

Answer 2

Для решения данного уравнения с помощью введения новой переменной, давайте обозначим новую переменную y = x^2. Тогда уравнение примет вид:

(y^2 + y)^2 - y - 1 = 2.

Раскроем скобки:

(y^4 + 2y^3 + y^2) - y - 1 = 2.

Приведем подобные слагаемые:

y^4 + 2y^3 + y^2 - y - 1 = 2.

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

y^4 + 2y^3 + y^2 - y - 3 = 0.

Теперь у нас получилось квадратное уравнение относительно переменной y. Решим его с помощью факторизации:

(y^2 + 3)(y^2 - y - 1) = 0.

Решим каждый множитель отдельно:

1) y^2 + 3 = 0. y^2 = -3. Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

2) y^2 - y - 1 = 0. Для решения данного квадратного уравнения воспользуемся формулой дискриминанта: D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(-1) = 1 + 4 = 5.

Так как дискриминант положительный, у нас будет два действительных корня: y1 = (-b + √D) / 2a = (1 + √5) / 2, y2 = (-b - √D) / 2a = (1 - √5) / 2.

Теперь найдем значения переменной x, подставив найденные значения y в уравнение y = x^2:

1) y1 = (1 + √5) / 2. (1 + √5) / 2 = x^2. x1 = ±√((1 + √5) / 2).

2) y2 = (1 - √5) / 2. (1 - √5) / 2 = x^2. x2 = ±√((1 - √5) / 2).

Таким образом, решением исходного уравнения являются значения x1 = ±√((1 + √5) / 2) и x2 = ±√((1 - √5) / 2).