Question

Помогите решить тригонометрическое уравнение 2sin^2x=1-(2-cosx)^2

Answer 1

2sin²2x=1-(2-cosx)² ;
2(1-cos²x) =1 - 4 +4cosx -cos²x ;
cos²x + 4cosx - 5=0  ;         ***  cosx =1  *** 
*** приведенное квадратное уравнение относительно cosx ***
cosx₁ = -2-√(2²-(- 5))= - 5  не имеет решения среди действительных чисел
cosx₂ = -2+3=1.  ⇒  x₂ =2πn , n ∈ℤ .

ответ : 2πn , n ∈ℤ 
----------
cos²x+4cosx-5=cos²x-cosx+5cosx-5=cosx(cosx-1)+5(cosx-1)=
=(cosx-1)(cosx+5)

Answer 2

$2\sin^2 x=1-(2-\cos x)^2\\ 2\sin^2 x=1-4+4\cos x-\cos ^2x\\ \\ \sin^2 x-4\cos x+\sin^2 x+\cos^2x +3=0\\ \\ \sin^2x-4\cos x+4=0\\ 1-\cos^2x-4\cos x+4=0\\ \\ \cos^2x +4\cos x-5=0$

Введём замену. Пусть $\cos x=t$, при условии что $|t| \leq 1$, получаем

$t^2+4t-5=0$

Согласно т. Виета: 
$t_1=-5$ - не удовлетворяет условию

$t_2=1$

Возвращаемся к обратной замене

$\cos x=1\\ \\ \boxed{x=2 \pi n,n \in \mathbb{Z}}$

Answer 3

Для решения данного тригонометрического уравнения, давайте разложим выражения и упростим его.

Исходное уравнение: 2sin^2x = 1 - (2 - cosx)^2

Раскроем квадрат во втором слагаемом справа: 2sin^2x = 1 - (4 - 4cosx + cos^2x)

Упростим выражение: 2sin^2x = -3 + 4cosx - cos^2x

Теперь приведем уравнение к одной стороне и упростим его: cos^2x - 4cosx + 2sin^2x + 3 = 0

Заметим, что sin^2x = 1 - cos^2x (так как sin^2x + cos^2x = 1): cos^2x - 4cosx + 2(1 - cos^2x) + 3 = 0

Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в одну сторону: 3cos^2x - 4cosx + 5 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно cosx. Решим его с помощью дискриминанта.

Квадратное уравнение имеет вид: ax^2 + bx + c = 0 В нашем случае: a = 3, b = -4, c = 5

Вычислим дискриминант по формуле: D = b^2 - 4ac D = (-4)^2 - 4(3)(5) = 16 - 60 = -44

Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение не имеет решений в действительных числах.

Таким образом, тригонометрическое уравнение 2sin^2x = 1 - (2 - cosx)^2 не имеет решений в действительных числах.