Question

Составьте уравнение прямой, проходящей через центры окружностей: 1) x²+y²+4x-6y-23=0 и x²+y²-10x-14y+58=0​ ​

Answer 1

Выделяем полные квадраты

(x²+4x+4)-4+(y²-6у+9)-9-23=0

(x+2)²-4+(y-3)²-9-23=0

(x+2)²+(y-3)²=36 Центр (-2;3), радиус 6.

(x²-10x+25)-25+(y²-14y+49)-49+58=0​

(x-5)²+(y-7)²=16 Центр (5;7), радиус 4.

Уравнение прямой (х-х₁)/(х₂-х₁)=(у-у₁)(у₂-у₁)

(х-5)/(-2-5)=(у-7)(3-7)

(х-5)/(-7)=(у-7)(-4)

Answer 2

Для составления уравнения прямой, проходящей через центры данных окружностей, нам необходимо знать, что центр окружности может быть выражен в виде уравнения вида (h, k), где h - координата x центра, а k - координата y центра.

Таким образом, для первой окружности с центром (h1, k1) и уравнением x² + y² + 4x - 6y - 23 = 0, центр можно выразить следующим образом: (1) h1 = -2, k1 = 3

Аналогично, для второй окружности с центром (h2, k2) и уравнением x² + y² - 10x - 14y + 58 = 0, центр можно выразить следующим образом: (2) h2 = 5, k2 = 7

Теперь у нас есть координаты центров обеих окружностей. Чтобы получить уравнение прямой, проходящей через эти центры, мы можем использовать формулу уравнения прямой, известную как уравнение прямой через две точки:

(3) y - k1 = ((k2 - k1) / (h2 - h1)) * (x - h1)

Подставляя значения центров из (1) и (2) в уравнение (3), получаем:

(4) y - 3 = ((7 - 3) / (5 - (-2))) * (x - (-2))

Упрощая это уравнение, получим:

(5) y - 3 = (4 / 7) * (x + 2)

Это уравнение прямой, проходящей через центры данных окружностей.