Question

Укажите промежутки возрастания и убывания функции y= x+1/x

Answer 1

Если x>0, то функция возрастает, а если x<0, то убывает

Answer 2

Давайте рассмотрим функцию \(y = x + \frac{1}{x}\) и найдем ее промежутки возрастания и убывания. Для этого нужно найти производную функции и решить неравенство \(y' > 0\) для промежутков возрастания и \(y' < 0\) для промежутков убывания.

1. Находим производную функции:

\[y = x + \frac{1}{x}\]

\[y' = 1 - \frac{1}{x^2}\]

2. Решаем неравенство \(y' > 0\):

\[1 - \frac{1}{x^2} > 0\]

Умножим обе стороны на \(x^2\) (учтем, что \(x^2\) не может быть равно нулю):

\[x^2 - 1 > 0\]

\[(x - 1)(x + 1) > 0\]

Получаем два интервала:

\[x < -1 \quad \text{или} \quad x > 1\]

Таким образом, функция возрастает на интервалах \((- \infty, -1)\) и \((1, +\infty)\).

3. Решаем неравенство \(y' < 0\):

\[1 - \frac{1}{x^2} < 0\]

Умножим обе стороны на \(x^2\) (учтем, что \(x^2\) не может быть равно нулю):

\[x^2 - 1 < 0\]

\[(x - 1)(x + 1) < 0\]

Получаем интервал:

\[-1 < x < 1\]

Таким образом, функция убывает на интервале \((-1, 1)\).

Итак, промежутки возрастания функции \(y = x + \frac{1}{x}\) - это \((- \infty, -1)\) и \((1, +\infty)\), а промежуток убывания - это \((-1, 1)\).