Question

Является ли счетным множество A∪B, если A={x, x=, n - натуральные числа} B={x, x - корень уравнения принадлежащий целым числам}

Answer 1

Теорема. Конечное объединение счетных множеств дает счетное множество.

По сути нужно доказать, что и $A$ и $B$ являются счетными. Докажем счетность множества $A$.

Очевидно, что между каждым элементом множества $A$ можно поставить взаимоднозначное соответствие с множеством натуральных чисел, которое как известно является счетными, т.е. множество $A$ - счетно.

Докажем теперь счетность множества $B$

Согласно основной теореме алгебры, полином $n$-ой степени имеет $n$ различных корней, т.е., очевидно, что количество полиномов является счетным, поскольку для каждого полинома можно установить биекцию множеству натуральных чисел, причем каждый полином имеет конечное число корней, тогда по выше сказанной теореме множество $B$ - счетно.

Следовательно, $A\cup B$ - счетно.

Answer 2

Да, множество a∪b является счетным.

Для начала нужно понять, что такое счетное множество. Счетное множество – это множество, элементы которого можно упорядочить в последовательность так, что каждый элемент будет иметь свой уникальный номер, начиная с первого элемента и переходя к следующему элементу по порядку.

Множество a состоит из натуральных чисел, которые уже являются счетным множеством. Натуральные числа можно упорядочить последовательно, начиная с 1 (1, 2, 3, 4, 5 и т.д.). Каждое натуральное число будет иметь свой уникальный номер.

Множество b состоит из корней уравнения, принадлежащих целым числам. Рассмотрим корни уравнения x=1, x=2, x=3 и т.д. Заметим, что все корни уравнений могут быть записаны в последовательность, начиная с первого корня и переходя к следующему по порядку. Каждый корень уравнения будет иметь свой уникальный номер.

Объединяя множества a и b, мы получаем еще одну последовательность элементов. Мы можем упорядочить эту последовательность следующим образом: сначала идут все элементы множества a по очереди, а затем все элементы множества b. Каждый элемент из a и b будет иметь свой уникальный номер в новой последовательности.

Таким образом, множество a∪b является счетным, потому что его элементы можно упорядочить в последовательность и каждому элементу присвоить уникальный номер.