Question

Решите систему уравнений Корень из х+корень из у=3 ху=4

Answer 1

$\left \{ {{ \sqrt{x} + \sqrt{y}=3} \atop {xy=4}} \right. \left \{ {{ \sqrt{x+y} =2} \atop { xy=4}} \right. \left \{ {{x+y=4} \atop {xy=4}} \right. \left \{ {{x=4-y} \atop {(4-y)y=4}} \right. \left \{ {{x=4-2} \atop {y=2}} \right. \left \{ {{x=2} \atop {y=2}} \right.$
$(4-y)y=4$
$\left \{ {{4-y=2} \atop {y=2}} \right. \left \{ {{y=2} \atop {y=2}} \right.$

Answer 2

Давайте обозначим корень из x как \( \sqrt{x} \) и корень из y как \( \sqrt{y} \). Тогда система уравнений:

1. \( \sqrt{x} + \sqrt{y} = 3 \) 2. \( xy = 4 \)

Давайте решим эту систему. Возведем обе стороны первого уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

\[ (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 = 3^2 \]

Раскроем квадрат слева:

\[ x + 2\sqrt{xy} + y = 9 \]

Теперь подставим второе уравнение (\(xy = 4\)):

\[ x + 2\sqrt{4} + y = 9 \]

\[ x + 2\sqrt{4} + y = 9 \]

\[ x + 2\cdot2 + y = 9 \]

\[ x + 4 + y = 9 \]

\[ x + y = 5 \quad (3) \]

Теперь у нас есть два уравнения:

1. \( x + y = 5 \) 2. \( xy = 4 \)

Мы можем решить эту систему, например, методом подстановки. Решим уравнение (3) относительно \( x \):

\[ x = 5 - y \quad (4) \]

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

\[ (5 - y)y = 4 \]

\[ 5y - y^2 = 4 \]

\[ y^2 - 5y + 4 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение. Разложим его на множители:

\[ (y - 1)(y - 4) = 0 \]

Отсюда получаем два возможных значения \( y \):

1. \( y = 1 \) 2. \( y = 4 \)

Теперь используем уравнение (4), чтобы найти соответствующие значения \( x \):

1. При \( y = 1 \): \( x = 5 - 1 = 4 \) 2. При \( y = 4 \): \( x = 5 - 4 = 1 \)

Таким образом, у нас есть две пары решений для данной системы уравнений:

1. \( x = 4, y = 1 \) 2. \( x = 1, y = 4 \)