Question

Cos5x+cosx+2cos3x=0​

Answer 1

$\cos 5x+\cos x+2\cos 3x=0\\ \\ 2\cos\dfrac{5x+x}{2}\cdot \cos\dfrac{5x-x}{2}+2\cos 3x=0\\ \\ 2\cos 3x\cos 2x+2\cos 3x=0\\ \\ 2\cos 3x(\cos 2x+1)=0$

Произведение равно нулю в том случае, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

$\cos 3x=0\\ \\ 3x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n,n \in \mathbb{Z}~~~~~\Rightarrow~~~ \boxed{x_1=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi n}{3},n \in \mathbb{Z}}\\ \\ \\ \cos 2x+1=0\\ \\ \cos 2x=-1\\ \\ 2x=\pi +2\pi n,n \in \mathbb{Z}~~~~~\Rightarrow~~~~ \boxed{x_2=\dfrac{\pi}{2}+\pi n,n \in \mathbb{Z}}$

Answer 2

Для решения данного уравнения, которое выглядит следующим образом: cos(5x) + cos(x) + 2cos(3x) = 0, мы будем использовать свойства тригонометрии и алгебры.

Перепишем уравнение:

cos(5x) + cos(x) + 2cos(3x) = 0

Используем тригонометрические формулы:

cos(5x) = cos(3x + 2x) = cos(3x)cos(2x) - sin(3x)sin(2x)

cos(3x) = cos(2x + x) = cos(2x)cos(x) - sin(2x)sin(x)

Подставим полученные выражения в уравнение:

cos(3x)cos(2x) - sin(3x)sin(2x) + cos(x) + 2(cos(2x)cos(x) - sin(2x)sin(x)) = 0

Упростим уравнение:

2cos(3x)cos(2x) - 2sin(3x)sin(2x) + cos(x) + 2cos(2x)cos(x) - 2sin(2x)sin(x) = 0

2(cos(3x)cos(2x) + cos(2x)cos(x)) - (2sin(3x)sin(2x) + 2sin(2x)sin(x)) + cos(x) = 0

2cos(2x)(cos(3x) + cos(x)) - 2sin(2x)(sin(3x) + sin(x)) + cos(x) = 0

Используем формулы сложения и умножения:

2cos(2x)(2cos^2(x) - 1 + cos(x)) - 2sin(2x)(2sin(x)cos(2x) + sin(x)) + cos(x) = 0

4cos(2x)(cos^2(x) + cos(x) - 1) - 2sin(2x)(2sin(x)cos(2x) + sin(x)) + cos(x) = 0

Обозначим cos(x) = t и преобразуем уравнение:

4cos(2x)(t^2 + t - 1) - 2sin(2x)(2tcos(2x) + t) + t = 0

Разделим уравнение на 2cos(2x):

2(t^2 + t - 1) - sin(2x)(2tcos(2x) + t) + t = 0

2t^2 + 2t - 2 - 2tsin(2x)cos(2x) - tsin(2x) + t = 0

2t^2 + 2t - 2 - 2tsin(2x)cos(2x) - tsin(2x) + t = 0

Обозначим sin(2x) = s и преобразуем уравнение:

2t^2 + 2t - 2 - 2tscos(2x) - ts + t = 0

2t^2 + (2 - 2s - 1)t - 2 = 0

Решим полученное квадратное уравнение относительно t:

t = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac))/(2a)

t = (-(2 - 2s - 1) ± sqrt((2 - 2s - 1)^2 - 4*2*(-2)))/(2*2)

t = (-(2 - 2s - 1) ± sqrt(4s^2 - 8s + 1 + 16))/(4)

t = (-1 - 2s ± sqrt(4s^2 - 8s + 17))/(4)

Подставим обратно значения t = cos(x) и s = sin(2x):

cos(x) = (-1 - 2sin(2x) ± sqrt(4sin^2(2x) - 8sin(2x) + 17))/(4)

Данное уравнение не может быть решено аналитически в общем виде. Однако, можно использовать численные методы, такие как метод Ньютона или метод половинного деления, чтобы найти приближенные значения x, удовлетворяющие уравнению.