Question

Выясни, сколько прямых проходит через различные пары из 37 точек(и), три из которых не лежат на одной прямой?Укажи формулу, которая подходит для решения задачи:n(n−1)/2n(n−1)/3n(n−1)​

Answer 1

Одной из первых аксиом геометрии, относящейся к взаимному расположению точек и прямых на плоскости, является аксиома о том, что через любые две точки плоскости проходит единственная прямая.  

 

Сначала рассмотрим задачи, идущие с нарастанием сложности.

1. Сколько прямых проходит через различные пары из трёх точек, не лежащих на одной прямой?

image

Ответ: 3

2. Сколько прямых проходит через различные пары из четырех точек, три из которых не лежат на одной прямой?

image

Ответ: 6

3. Сколько прямых проходит через различные пары из пяти точек, три из которых не лежат на одной прямой?

image

Ответ: 10

 

Далее, перейдём к более сложному варианту:

   

4. Сколько прямых проходит через различные пары из n точек, три из которых не лежат на одной прямой?

Решение.

Пусть A1, …, An – n точек, три из которых не лежат на одной прямой. Для построения таких точек достаточно отметить их на окружности.  

image

 

Выясним, сколько прямых проходит через точку A1 и оставшиеся точки. Так как число оставшихся точек равно n–1 и через каждую из них и точку A1 проходит одна прямая, то искомое число прямых будет равно n–1.

 

Заметим, что рассуждения, проведённые для точки A1, справедливы для любой точки. Поскольку всего точек n и через каждую из них проходит n–1 прямая, то число посчитанных прямых будет равно n(n–1). Так как, при указанном выше подсчете мы каждую прямую посчитали дважды и поэтому число прямых, проходящих через различные пары из n данных точек, равно  n(n−1)2.  

В заданном случае n=27. Подставив значение в формулу получим:

Answer 2

Эта задача связана с комбинаторикой и геометрией. Для определения количества прямых, проходящих через различные пары из 37 точек, можно воспользоваться формулой сочетаний.

Формула для определения количества прямых, проходящих через две различные точки из n, это \(C(n, 2)\), где \(C(n, k)\) - число сочетаний из n элементов по k.

В данном случае у нас есть 37 точек, и мы хотим определить количество прямых, проходящих через каждую пару точек. Формула для этого будет выглядеть следующим образом:

\[\frac{37 \cdot 36}{2} = \frac{37 \cdot 36}{2 \cdot 1}\]

Это объясняется тем, что из 37 точек выбирается любая комбинация по две точки, и затем каждая пара точек определяет одну прямую.

Расчет:

\[\frac{37 \cdot 36}{2} = \frac{1332}{2} = 666\]

Таким образом, через различные пары из 37 точек проходит 666 прямых.