Question

Решите уравнение : 2sin x - sin^2x = cos^2x

Answer 1

2sinx-sin²x=cos²x
2sinx-sin²x-cos²x=0
2sinx-(sin²x+cos²x)=0
2sinx-1=0,   2sinx=1
$sinx= \frac{1}{2} x=(-1) ^{n} *arcsin \frac{1}{2} + \pi n, x=(-1) ^{n} * \frac{ \pi }{6} + \pi n,$
n∈Z

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы можем использовать тригонометрические тождества и свойства синуса и косинуса. Давайте посмотрим, как можно решить это уравнение шаг за шагом.

Первый шаг: Преобразование уравнения

Для начала, преобразуем данное уравнение, чтобы избавиться от квадратов синуса и косинуса. Мы можем использовать следующие тригонометрические тождества:

- sin^2(x) = 1 - cos^2(x) - cos^2(x) = 1 - sin^2(x)

Заменим эти значения в исходном уравнении:

2sin(x) - sin^2(x) = cos^2(x) 2sin(x) - (1 - cos^2(x)) = 1 - sin^2(x)

Второй шаг: Упрощение уравнения

Теперь упростим уравнение, раскрыв скобки:

2sin(x) - 1 + cos^2(x) = 1 - sin^2(x)

Перенесем все члены на одну сторону:

2sin(x) + sin^2(x) + sin^2(x) - cos^2(x) = 2

Третий шаг: Использование тригонометрических тождеств

Мы можем заменить sin^2(x) и cos^2(x) в уравнении:

2sin(x) + sin^2(x) + sin^2(x) - (1 - sin^2(x)) = 2

Упростим выражение:

2sin(x) + 2sin^2(x) - 1 + sin^2(x) = 2

Четвертый шаг: Решение квадратного уравнения

Теперь, это стало квадратным уравнением относительно sin(x). Приведем его к общему виду:

3sin^2(x) + 2sin(x) - 3 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение, используя стандартные методы решения квадратных уравнений, такие как факторизация, квадратное уравнение или дискриминант.

Пятый шаг: Решение квадратного уравнения

Давайте решим это квадратное уравнение:

3sin^2(x) + 2sin(x) - 3 = 0

Мы можем попробовать факторизацию, но здесь это не сработает. Вместо этого, воспользуемся дискриминантом:

D = b^2 - 4ac D = (2)^2 - 4(3)(-3) D = 4 + 36 D = 40

Так как дискриминант положительный, у нас есть два действительных корня.

Шестой шаг: Нахождение корней

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

sin(x) = (-b ± √D) / (2a) sin(x) = (-2 ± √40) / (2(3)) sin(x) = (-2 ± 2√10) / 6 sin(x) = -(1/3) ± (√10)/3

Таким образом, у нас есть два решения:

sin(x) = -(1/3) + (√10)/3 sin(x) = -(1/3) - (√10)/3

Седьмой шаг: Нахождение значений x

Теперь, чтобы найти значения x, мы можем использовать обратные тригонометрические функции, такие как arcsin.

x = arcsin(-(1/3) + (√10)/3) x = arcsin(-(1/3) - (√10)/3)

Таким образом, мы получили два значения x, в которых уравнение 2sin(x) - sin^2(x) = cos^2(x) выполняется.