Question

сумма первых четырех членов арифметической прогрессии в пять раз меньше суммы следующих восьми.найти отношение сумму первых восьми к сумме первых ее четрырех

Answer 1

(a1+a2+a3+a4)*5 = a5+a6+...+a12

 

an=a1+d(n-1)

 

a1+a2+a3+a4=a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)=4a1+6d

a5+a6+...+a12=8a1+60d

 

(4a1+6d)*5=8a1+60d

20a1+30d=8a1+60d

12a1=30d|:6

2a1=5d

a1=2,5d

 

a1+a2+...+a8            8a1+28d         8*2,5d +28d         20d+28d      48d

_______________ = __________ = ______________= _________ =____ = 3

a1+a2+...+a4               4a1+6d        4*2,5d+6d            10d+6d        16d

 

Answer 2

Давайте обозначим члены арифметической прогрессии. Пусть \(a\) - первый член прогрессии, а \(d\) - разность прогрессии. Тогда первые четыре члена прогрессии будут: \(a, a + d, a + 2d, a + 3d\).

Сумма первых четырех членов прогрессии равна: \[S_4 = a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d)\]

Сумма следующих восьми членов прогрессии: \[S_{12} = S_4 + (a + 4d) + (a + 5d) + (a + 6d) + (a + 7d) + (a + 8d) + (a + 9d) + (a + 10d) + (a + 11d)\]

Теперь у нас есть условие: сумма первых четырех членов прогрессии в пять раз меньше суммы следующих восьми: \[S_4 = \frac{1}{5} \cdot S_{12}\]

Теперь подставим выражения для \(S_4\) и \(S_{12}\): \[a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) = \frac{1}{5} \cdot [S_4 + (a + 4d) + (a + 5d) + (a + 6d) + (a + 7d) + (a + 8d) + (a + 9d) + (a + 10d) + (a + 11d)]\]

Раскроем скобки и упростим уравнение. После упрощения вы увидите, что большинство членов сократятся, и у вас останется простое уравнение относительно \(d\). Решив его, вы сможете найти значение разности прогрессии \(d\).

Теперь, чтобы найти отношение суммы первых восьми членов к сумме первых четырех, используйте формулу для суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии: \[S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\]

Таким образом, отношение суммы первых восьми членов к сумме первых четырех будет равно: \[\frac{S_8}{S_4} = \frac{\frac{8}{2}[2a + 7d]}{\frac{4}{2}[2a + 3d]}\]

Подставьте найденные значения \(a\) и \(d\), и вы получите ответ.