Question

Упростите выражение ab / a + b * (a / b - b / a) и найдите его значение при a = √3 −1, b = √3 +1.

Answer 1

в скобках приводишь к общему знаменателю, в числителе получается формула(разность квадратов), раскрываешь ее как (a-b)(a+b)

потом все вместе перемножаешь, сокращаешь что можно сократить и получаешь

a-b.

подставляешь числовые значения и получаешь

 √3 −1- √3 −1=-2.

Answer 2

Конечно, начнем с упрощения выражения:

\[ \frac{ab}{a + b} \times \left(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}\right) \]

Давайте разберемся с этим шаг за шагом.

Сначала выразим \( \frac{ab}{a + b} \):

\[ \frac{ab}{a + b} = \frac{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)}{\sqrt{3} - 1 + \sqrt{3} + 1} \]

Теперь упростим это:

\[ \frac{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)}{\sqrt{3} - 1 + \sqrt{3} + 1} = \frac{3 - 1}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \]

Теперь займемся второй частью выражения \( \left(\frac{a}{b} - \frac{b}{a}\right) \):

\[ \frac{a}{b} - \frac{b}{a} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} - \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} \]

Теперь упростим это:

\[ \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} - \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2 - (\sqrt{3} + 1)^2}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} \] \[ = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1 - (3 + 2\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{-4\sqrt{3} - 4}{2} = -2(\sqrt{3} + 1) \]

Теперь перемножим оба значения:

\[ \frac{\sqrt{3}}{3} \times (-2(\sqrt{3} + 1)) = -2\sqrt{3} - 2 \]

Таким образом, значение выражения при \(a = \sqrt{3} - 1\) и \(b = \sqrt{3} + 1\) равно \(-2\sqrt{3} - 2\).