Question

Найдите координаты точек пересечения графиков функций у=х³/х-2 и у=х²-3х+1

Answer 1

$\frac{x^3}{x-2}=x^2-3x+1 \\ x^3=(x^2-3x+1)(x-2) \\ x^3=x^3-3x^2+x-2x^2+6x-2=0 \\ x^3-x^3-3x^2-2x^2+6x+x-2=0 \\ -5x^2+7x-2=0 \\ D=b^2-4ac=7^2-4*(-5)*(-2)=49-40=9 \\ x_1= \frac{-7+ \sqrt{9} }{2*(-5)}= \frac{-7+3}{-10}=0.4 \\ \\ x_2= \frac{-7- \sqrt{9} }{2*(-5)}= \frac{-7-3}{-10}=1$
точками пересечения графиков будут
$f(0.4)= \frac{0.4^3}{0.4-2}= \frac{0.064}{-1.6} =-0.04$
первая точка (0,4;-0,04)
$f(1)= \frac{1^3}{1-2}= \frac{1}{-1}=-1$
вторая точка (1;-1)

Answer 2

Х³/(х-2)=х²-3х+1

х³=(х-2)*(х²-3х+1)

х³=х³-3х²+х-2х²+6х-2

х³=х³-5х²+7х-2

5х²-7х+2=0

D=49-40=9  √D=3

х₁=(7+3)/10=1       у₁=1³/(1-2)=-1

х₂=(7-3)/10=0.4     у₂=(0.4)³/(0.4-2)=0.064/(-1,6)=-0.04

Ответ: ( 1; -1),( 0,4 ; -0.04)

Answer 3

Для того, чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций $y=\frac{x^3}{x-2}$ и $y=x^2-3x+1$, нужно решить следующую систему уравнений:

$$ \begin{cases} y=\frac{x^3}{x-2} \\\\ y=x^2-3x+1 \end{cases} $$

Для этого можно приравнять правые части уравнений и получить кубическое уравнение относительно $x$:

$$ \frac{x^3}{x-2}=x^2-3x+1 $$

Приведя все члены в одну сторону и умножив на $(x-2)$, получим:

$$ x^3-(x-2)(x^2-3x+1)=0 $$

Раскрыв скобки и приведя подобные, получим:

$$ x^3-x^3+5x^2-7x+2=0 $$

Упростив, получим:

$$ 5x^2-7x+2=0 $$

Это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта:

$$ D=b^2-4ac=(-7)^2-4\cdot5\cdot2=9 $$

Так как $D>0$, то уравнение имеет два действительных корня:

$$ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{7\pm3}{10} $$

Тогда:

$$ x_1=\frac{7+3}{10}=1 $$

$$ x_2=\frac{7-3}{10}=0.4 $$

Для того, чтобы найти соответствующие значения $y$, нужно подставить найденные $x$ в любое из уравнений системы. Например, во второе:

$$ y=x^2-3x+1 $$

Тогда:

$$ y_1=1^2-3\cdot1+1=-1 $$

$$ y_2=0.4^2-3\cdot0.4+1=0.24 $$

Таким образом, координаты точек пересечения графиков функций равны:

$$ (1;-1) $$

$$ (0.4;0.24) $$

Если вы хотите построить графики этих функций, то вы можете воспользоваться одним из онлайн-сервисов, например, [этим](https://spravochnick.ru/matematika/kak_nayti_koordinaty_tochek_peresecheniya_grafika_funkcii_primery_resheniya/). Вот пример того, как выглядят графики и точки пересечения: