Question

Решите уравнение sin3xcos3x=-корень 3/4

Answer 1

Формула синуса двойного угла
sin 2α=2·sinα·cosα    ⇒      sinα·cosα=(sin2α)/2
Уравнение принимает вид:
(sin 6x)/2=-√3/4
или
sin 6x=-√3/2
6x=(-1)^{k)arcsin(-√3/2)+πk,k∈Z
6x=(-1)^{k}·(-π/3) +πk,k∈Z
x=(-1)^{k+1}π/18+πk/6,k∈Z

Answer 2

Давайте решим уравнение \( \sin(3x)\cos(3x) = -\frac{\sqrt{3}}{4} \). Для этого мы можем использовать тригонометрические тождества.

Нам известно тригонометрическое тождество:

\[ \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) \]

Мы можем использовать это тождество для того, чтобы представить произведение синуса и косинуса через синус угла в два раза меньшего:

\[ \sin(3x)\cos(3x) = \frac{1}{2} \sin(6x) \]

Теперь уравнение принимает вид:

\[ \frac{1}{2} \sin(6x) = -\frac{\sqrt{3}}{4} \]

Умножим обе стороны на \(-2\) для удобства:

\[ -\sin(6x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Теперь возьмем синус от обеих сторон уравнения:

\[ \sin(6x) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \]

Для решения этого уравнения найдем угол, чей синус равен \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\). Обратите внимание, что \(\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\), так что:

\[ 6x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \]

где \(k\) - любое целое число. Теперь разрешим уравнение относительно \(x\):

\[ x = -\frac{\pi}{18} + \frac{k\pi}{3} \]

Таким образом, решение уравнения \( \sin(3x)\cos(3x) = -\frac{\sqrt{3}}{4} \) задается формулой:

\[ x = -\frac{\pi}{18} + \frac{k\pi}{3} \]

где \(k\) - целое число.