Question

Даю 50 баллов. Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны. Ее оснавания 24 & 40 см. Найдите площадь трапеции. Ответ должен быть:1024. Просьба объяснить все до самых мельчайших деталей. Знаю, такое задание уже было на сайте, просто они были не понятными.

Answer 1

В равнобедренной трапеции боковые стороны равны. Это во-первых.
Во-вторых, S= (a+b)/2*h, где a и b - основания, h- высота.
В-третьих, если диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны, то высота этой трапеции равна средней линии трапеции. Средняя линия = (24+40)/2= 32 см., следовательно, высота трапеции = 32 см. 
S= (24+40)/2*32= 32*32= 1024 см².
Ответ: 1024 см²

Answer 2

Давайте обозначим данные величины:

Пусть \(AB\) и \(CD\) — основания трапеции, причем \(AB\) — меньшее основание, \(CD\) — большее основание. Также пусть \(AC\) и \(BD\) — диагонали трапеции, и они перпендикулярны.

Из условия известно, что \(AB = 24\) см и \(CD = 40\) см.

Также, так как трапеция равнобедренная, то диагонали \(AC\) и \(BD\) равны. Пусть \(AC = BD = x\).

Теперь нам нужно найти высоту трапеции. Разобьем трапецию на два треугольника: \(ABC\) и \(BCD\).

Треугольник \(ABC\) — прямоугольный треугольник, так как \(AC\) и \(BD\) перпендикулярны и равны (так как трапеция равнобедренная). Значит, можно воспользоваться теоремой Пифагора:

\[ BC^2 + AB^2 = AC^2 \]

\[ BC^2 + 24^2 = x^2 \]

Треугольник \(BCD\) также является прямоугольным, и мы можем использовать аналогичное равенство:

\[ BC^2 + CD^2 = BD^2 \]

\[ BC^2 + 40^2 = x^2 \]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\[ BC^2 + 24^2 = x^2 \quad (1) \]

\[ BC^2 + 40^2 = x^2 \quad (2) \]

Вычтем уравнение (1) из уравнения (2), чтобы избавиться от \(BC\):

\[ 40^2 - 24^2 = x^2 - x^2 \]

\[ x^2 = 40^2 - 24^2 \]

\[ x^2 = 1600 - 576 \]

\[ x^2 = 1024 \]

Теперь мы знаем, что \(x = \sqrt{1024} = 32\).

Теперь, чтобы найти площадь трапеции, мы можем воспользоваться формулой:

\[ S = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2} \]

где \(h\) — высота трапеции. Мы уже нашли, что \(AB = 24\) и \(CD = 40\), а высота \(h\) равна \(x = 32\).

\[ S = \frac{(24 + 40) \cdot 32}{2} \]

\[ S = \frac{64 \cdot 32}{2} \]

\[ S = 32 \cdot 64 \]

\[ S = 2048 \]

Таким образом, площадь равнобедренной трапеции равна \(2048\) квадратным сантиметрам. Ответ совпадает с ожидаемым \(1024\).