Question

Очень срочно надо!!!!!ребят,помогите пожалуйста!!!!! 2x^2-5xy-12y^2-x+26y-10=0 определить тип линии написать ее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат

Answer 1

Если есть слагаемое ху, то это будет обязательно поворот осей координат.
Для этого существуют специальные формулы замены переменных из курса высшей алгебры.
А так можно попытаться выделить три квадрата  (    )² + (  )² + (  )² = числу

Answer 2

Для начала определим тип линии, заданной уравнением 2x^2 -5xy -12y^2 -x +26y -10 = 0. Для этого нам понадобится квадратичная форма данного уравнения.

Для этого применим преобразование коэффициентов по формулам:

A = 2 B = -5/2 C = -12 D = -1/2 E = 13 F = -10

Затем используем формулу дискриминанта D = B^2 - 4AC, где

D = (-5/2)^2 - 4(2)(-12) = 25/4 + 96 = 25/4 + 96/1 = (25 + 96 * 4) / 4 = (25 + 384) / 4 = 409/4.

Теперь, опираясь на значение дискриминанта, можем определить тип линии:

1) Если D > 0 и A > 0, то это эллипс. 2) Если D = 0 и A > 0, то это парабола. 3) Если D < 0 и A > 0, то это гипербола. 4) Если A = 0, то это парабола, крест (2 пересекающиеся прямые) или точка.

В нашем случае, значения A и D положительные, а D > 0, поэтому это эллипс.

Чтобы найти каноническое уравнение, нужно преобразовать исходное уравнение таким образом, чтобы убрать линейные члены xy, x и y.

Для этого воспользуемся методом завершения квадратного трехчлена:

2x^2 - 5xy - 12y^2 - x + 26y - 10 = 0

2x^2 - 5xy - x - 12y^2 + 26y - 10 = 0

2x^2 - (5y + 1)x - 12y^2 + 26y - 10 = 0

2x^2 - 2(5y + 1)/2x - 12y^2 + 26y - 10 = 0

2(x^2 - (5y + 1)/2x) - 12y^2 + 26y - 10 = 0

2[(x - (5y + 1)/4)^2 - ((5y + 1)/4)^2] - 12y^2 + 26y - 10 = 0

2(x - (5y + 1)/4)^2 - 2((5y + 1)/4)^2 - 12y^2 + 26y - 10 = 0

2(x - (5y + 1)/4)^2 - (5y + 1)^2/8 - 12y^2 + 26y - 10 = 0

2(x - (5y + 1)/4)^2 - (5y + 1)^2/8 - (12y^2 - 26y + 10) = 0

2(x - (5y + 1)/4)^2 - (5y + 1)^2/8 - 2(3y^2 - 13y + 5) = 0

2(x - (5y + 1)/4)^2 - (5y + 1)^2/8 - 6(y - 1)(y - 5/3) = 0

Таким образом, каноническое уравнение данной линии имеет вид:

2(x - (5y + 1)/4)^2 - (5y + 1)^2/8 - 6(y - 1)(y - 5/3) = 0

Чтобы найти каноническую систему координат, нужно найти вершины эллипса. Для этого сравниваем коэффициент при x^2 и при y^2 с дискриминантом в ОЗП.

-12 = -1 * 13

Таким образом, центр эллипса находится в точке (1, -5/3).

Теперь находим длину полуоси эллипса, которая является корнем из дискриминанта D в ОЗП.

sqrt(409/4) = sqrt(409)/2

Значит, полуось а равна sqrt(409)/2, полуось b равна sqrt(409)/3.

Таким образом, каноническая система координат имеет центр (1, -5/3), а полуоси равны sqrt(409)/2 и sqrt(409)/3.