Question

Розв'язати рівняння √(lg(-x))=lg√(х^2)

Answer 1

$\sqrt{lg(-x)} =lg\sqrt{x^2}\; ,\; \; \; ODZ:\; \left \{ {{lg(-x) \geq 0} \atop {-x\ \textgreater \ 0}} \right. \; \left \{ {{-x \geq 1} \atop {x\ \textless \ 0}} \right. \; \left \{ {{x \leq -1} \atop {x\ \textless \ 0}} \right. \; ,\; x \leq -1\\\\\sqrt{x^2}=|x|\; \; \; \Rightarrow \; \; \sqrt{lg(-x)}=lg|x|\\\\\Big (\sqrt{lg(-x)}\Big )^2=\Big (lg|x|\Big )^2\\\\lg(-x)=lg^2|x|\\\\Tak\; kak\; \; x\ \textless \ 0\; ,\; to\; \; |x|=-x\; \; \Rightarrow \; \; lg(-x)=lg^2(-x)\\\\lg^2(-x)-lg(-x)=0\\\\lg(-x)\cdot (lg(-x)-1)=0$

$a)\; \; lg(-x)=0\; \; ,\; \; -x=1\; ,\; \; x=-1$

$b)\; \; lg(-x)-1=0\; ,\; \; lg(-x)=1\; ,\; \; -x=10\; ,\; \; x=-10\\\\Otvet:\; \; x=-1\; ,\; \; x=-10\; .$

Answer 2

Щоб розв'язати рівняння √(lg(-x)) = lg√(х^2), спочатку перевіримо область визначення функцій, а потім знайдемо спільні корені.

Область визначення функцій

У рівнянні маємо дві функції: логарифм та квадратний корінь. Для того, щоб логарифм був визначений, значення підлогарифмового виразу має бути більше 0: lg(-x) > 0. Але логарифм не може бути визначений для від'ємних чисел, тому ця умова не виконується.

Таким чином, рівняння √(lg(-x)) = lg√(х^2) не має розв'язків у дійсних числах, оскільки область визначення не задовольняється.

Отже, рівняння √(lg(-x)) = lg√(х^2) не має розв'язків у дійсних числах.