Question

Прошу вас , пожалуйста решите примерчик ! очень надо при каких знач. p уравнение : 3 * (4 в степени x) - (3p+2)* (2 в ст. х)+ 2р=0 имеет ровно два корня ???

Answer 1

$3*4^{x}-(3p+2)*2^{x}+2p=0$ (*)
$3*2^{2x}-(3p+2)*2^{x}+2p=0$

Замена: $2^{x}=t\ \textgreater \ 0$

$3t^{2}-(3p+2)*t+2p=0$
$D=(3p+2)^{2}-24p=9p^{2}+12p+4-24p=9p^{2}-12p+4$

Чтобы уравнение (*) имело ровно два корня, необходимо, чтобы дискриминант был строго больше 0:
$9p^{2}-12p+4\ \textgreater \ 0$

$9p^{2}-12p+4=(3p-2)^{2}=0$
$p= \frac{2}{3}$

Решением неравенства будет: p∈(-∞; 2/3)U(2/3; +∞)

Ответ: р≠2/3 или p∈(-∞; 2/3)U(2/3; +∞)

Answer 2

Я могу помочь вам решить примерчик. Ваше уравнение имеет вид:

$$3 \cdot 4^x - (3p + 2) \cdot 2^x + 2p = 0$$

Для того, чтобы уравнение имело ровно два корня, необходимо, чтобы дискриминант квадратного уравнения, полученного после замены $y = 2^x$, был положительным. То есть:

$$D = (3p + 2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2p > 0$$

Решая это неравенство относительно $p$, получаем:

$$p < -\frac{2}{3} \quad \text{или} \quad p > 1$$

Это значит, что при таких значениях $p$ уравнение будет иметь два различных корня $x_1$ и $x_2$, которые можно найти по формуле:

$$x_{1,2} = \frac{\ln \left( \frac{3p + 2 \pm \sqrt{D}}{6} \right)}{\ln 2 - \ln 4}$$

Надеюсь, что это ответ помог вам решить примерчик. Если у вас есть еще вопросы, я буду рад вам помочь.