Question

Решите неравенство: a) 2x^2+5x-7<0 б)5x^2-4x+21>0

Answer 1

$2x^2 + 5x - 7 \ \textless \ 0 \\ \\ 2x^2 + 5x - 7 = 0 \\ \\ D = 25 + 4 \cdot 7 \cdot 2 = 81 = 9^2 \\ \\ x_1 = \dfrac{-5 + 9}{4} = 1 \\ \\ x_2 = \dfrac{-5 - 9}{4} = -3,5 \\ \\ 2(x - 1)(x + 3,5) \ \textless \ 0 \\ \\ (x - 1)(x + 3,5) \ \textless \ 0 \\ \\ x \in (-3,5; \ 1).$

$5x^2 - 4x + 21 \ \textgreater \ 0 \\ \\ 5x^2 - 4x + 21 = 0 \\ \\ D = 16 - 4 \cdot 21 \cdot 5 \ \textless \ 0$
Т.к. D < 0, то график функции $y = 5x^2 - 4x + 21$ будет лежать выше оси Ox, значит, неравенство верно при любых $x \in R$

Answer 2

Решение неравенства a) 2x^2 + 5x - 7 < 0:

Для решения данного неравенства, мы должны найти интервалы значений x, при которых неравенство будет выполняться.

1. Начнем с решения квадратного уравнения 2x^2 + 5x - 7 = 0. Мы можем использовать квадратное уравнение для определения точек пересечения графика с осью x.

Для решения этого уравнения, мы можем использовать формулу дискриминанта: D = b^2 - 4ac. В нашем случае, a = 2, b = 5 и c = -7.

D = (5)^2 - 4(2)(-7) = 25 + 56 = 81.

Дискриминант равен 81.

2. Теперь мы можем использовать значение дискриминанта, чтобы определить, какие типы решений у нас есть:

a) Если D > 0, то у нас есть два различных вещественных корня, и неравенство будет выполняться между этими корнями. b) Если D = 0, то у нас есть один вещественный корень, и неравенство будет выполняться только в этой точке. c) Если D < 0, то у нас нет вещественных корней, и неравенство будет выполняться для всех значений x.

В нашем случае, D = 81 > 0, поэтому у нас есть два различных вещественных корня.

3. Чтобы определить интервалы, в которых неравенство выполняется, мы можем построить знаковую линию. Для этого мы находим значения x, которые соответствуют нулевым точкам.

Решим квадратное уравнение 2x^2 + 5x - 7 = 0.

Используем формулу Квадратного корня: x = (-b ± √D) / (2a).

x = (-5 ± √81) / (2 * 2) = (-5 ± 9) / 4.

x1 = (-5 + 9) / 4 = 1/2. x2 = (-5 - 9) / 4 = -7/2.

Таким образом, нулевые точки нашего уравнения равны 1/2 и -7/2.

4. Теперь мы можем построить знаковую линию, используя нулевые точки и полученные значения.

----+-----+-----+-----+---- -7/2 1/2

Мы можем выбрать точку на каждом интервале и проверить, какой знак имеет выражение 2x^2 + 5x - 7.

Например, если мы возьмем x = 0, то значение выражения будет -7, что меньше нуля.

Таким образом, интервалы, в которых неравенство выполняется, будут (-7/2, 1/2).

Ответ: (-7/2, 1/2).

Решение неравенства б) 5x^2 - 4x + 21 > 0:

Для решения данного неравенства также используем ту же методику.

1. Начнем с решения квадратного уравнения 5x^2 - 4x + 21 = 0.

Используем формулу дискриминанта: D = b^2 - 4ac. В нашем случае, a = 5, b = -4 и c = 21.

D = (-4)^2 - 4(5)(21) = 16 - 420 = -404.

Дискриминант равен -404.

2. Так как D < 0, у нас нет вещественных корней, и неравенство будет выполняться для всех значений x.

Ответ: все значения x удовлетворяют неравенству 5x^2 - 4x + 21 > 0.