Question

Определение производной функции через предел.

Answer 1

Пусть $f(x): R \rightarrow R$, тогда
$\frac{df}{dx}(x_{0}) \triangleq \lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x) -f(x_{0})}{x-x_{0}} = \lim_{\Delta h\to 0}\frac{f(x_{0}+\Delta h) -f(x_{0})}{\Delta h}$

Answer 2

Определение производной функции через предел

Производная функции является одним из основных понятий в математическом анализе. Она позволяет определить скорость изменения функции в каждой точке ее области определения. Определение производной функции через предел выглядит следующим образом:

Для функции \(y = f(x)\), где \(x\) и \(y\) - переменные, производная функции \(f'(x)\) определяется следующим пределом:

\[f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h}\]

где \(h\) - бесконечно малая величина, представляющая изменение \(x\) в окрестности точки \(x\).

Это определение позволяет найти производную функции в каждой точке ее области определения. Производная функции показывает, как быстро меняется значение функции при изменении аргумента.

Примеры использования определения производной через предел:

1. Для функции \(y = x^2\), где \(x\) - переменная, мы можем использовать определение производной для нахождения производной этой функции. Применяя определение, получаем:

\[f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{(x + h)^2 - x^2}}{h}\]

Раскрывая скобки и упрощая выражение, получаем:

\[f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}}{h} = \lim_{{h \to 0}} \frac{{2xh + h^2}}{h}\]

Упрощая дробь, получаем:

\[f'(x) = \lim_{{h \to 0}} (2x + h) = 2x\]

Таким образом, производная функции \(y = x^2\) равна \(2x\).

2. Для функции \(y = \exp(\cos(x))\), где \(x\) - переменная, мы также можем использовать определение производной для нахождения производной этой функции. Применяя определение, получаем:

\[f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{\exp(\cos(x + h)) - \exp(\cos(x))}}{h}\]

Это выражение не может быть упрощено до простого аналитического выражения, но мы можем приближенно вычислить его численно или использовать другие методы для нахождения производной.

Определение производной через предел позволяет найти производную функции в каждой точке ее области определения и является одним из основных инструментов математического анализа.

Ссылки:

-: Определение производной функции через предел. (source in Russian) -: Пример использования определения производной функции через предел. (source in Russian)