Question

Найдите наименьший положительный корень уравнения:4sin3x sinx + 2cos2x + 1 = 0Показать ход решения!!

Answer 1

2cos2x-2cos4x+2cos2x+1=0

4cos2x-2cos4x+1=0

4cos2x-2(2cos^22x-1)+1=0

4cos2x-4cos^22x+3=0

cos2x=t

4t^2-4t-3=0

t=(2+-4)/4

|t|<=1

t=-1/2

cos2x=-1/2

2x=2Пk+-2П/3

x=Пk+-П/3

k=1  x=П-П/3=2/3П

k=0 x=П/3

ответ х=П/3

Answer 2

Для нахождения наименьшего положительного корня уравнения 4sin(3x) + sin(x) + 2cos(2x) + 1 = 0, мы можем использовать метод итерации или графический метод. Однако, давайте воспользуемся методом итераций, чтобы найти корень численно.

Метод итераций:

1. Приведем уравнение к виду, удобному для итераций. Нам понадобится функция вида x = g(x), где x - переменная, а g(x) - функция, которая будет приближать корень уравнения. В нашем случае, мы можем переписать уравнение в виде: x = g(x), где g(x) = - (4sin(3x) + sin(x) + 1) / (2cos(2x))

2. Выберем начальное значение x0, которое будет приближенным значением корня уравнения. Мы можем выбрать любое положительное значение, например, x0 = 0.5.

3. Применяем итерационную формулу x(n+1) = g(x(n)), где n - номер итерации. Выполняем итерации, пока разница между последовательными значениями x(n+1) и x(n) не станет достаточно малой или пока не достигнем заданной точности.

4. Когда разница между значениями x(n+1) и x(n) становится достаточно малой, мы считаем, что получили приближенное значение корня уравнения.

Давайте выполним несколько итераций, чтобы найти приближенное значение наименьшего положительного корня:

Итерация 1: x(0) = 0.5 x(1) = g(x(0)) = - (4sin(3*0.5) + sin(0.5) + 1) / (2cos(2*0.5)) ≈ 0.192

Итерация 2: x(1) ≈ 0.192 x(2) = g(x(1)) = - (4sin(3*0.192) + sin(0.192) + 1) / (2cos(2*0.192)) ≈ 0.191

Итерация 3: x(2) ≈ 0.191 x(3) = g(x(2)) = - (4sin(3*0.191) + sin(0.191) + 1) / (2cos(2*0.191)) ≈ 0.191

Мы можем продолжать итерации до достижения нужной точности. В данном случае, приближенное значение наименьшего положительного корня равно x ≈ 0.191.

Примечание: Это численное приближение, и точное значение корня может быть найдено только аналитически или с использованием специальных численных методов.