Question

X^3-x^2+x-1=0 Решите уравнение

Answer 1

X³-x²+x-1=0
x²(x-1) + (x-1)=0
(x-1)(x²+1)=0
a)x-1=0, x=1
b)x²+1=0 , x∈∅
Otvet: x=1

Answer 2

Конечно, давайте решим уравнение \(x^3 - x^2 + x - 1 = 0\).

Чтобы решить кубическое уравнение, можно воспользоваться различными методами, и одним из наиболее общих методов является метод Кардано. Уравнение вида \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) можно решить следующим образом:

1. Найдем дискриминант \(D\): \[ D = 18abcd - 4b^3d + b^2c^2 - 4ac^3 - 27a^2d^2 \]

2. Если \(D > 0\), то уравнение имеет три вещественных корня.

3. Если \(D = 0\), то уравнение имеет хотя бы один кратный корень.

4. Если \(D < 0\), то уравнение имеет один вещественный корень и два комплексных сопряженных корня.

В нашем случае \(a = 1\), \(b = -1\), \(c = 1\), \(d = -1\). Подставим значения и найдем дискриминант:

\[ D = 18 \cdot 1 \cdot (-1) \cdot 1 \cdot (-1) - 4 \cdot (-1)^3 \cdot (-1) + (-1)^2 \cdot 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1^3 - 27 \cdot 1^2 \cdot (-1)^2 \]

Вычисляем:

\[ D = 18 + 4 - 1 - 4 + 27 = 44 \]

Таким образом, у нас есть три вещественных корня.

Теперь, чтобы найти сами корни, используем формулы Кардано. Пусть

\[ Q = \sqrt[3]{\frac{D}{2} + \sqrt{\left(\frac{D}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{3a}\right)^3}} \]

\[ S = \sqrt[3]{\frac{D}{2} - \sqrt{\left(\frac{D}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{3a}\right)^3}} \]

Тогда корни уравнения можно записать следующим образом:

\[ x_1 = -\frac{1}{3a} \left( b + \omega Q + \omega^2 S \right) \] \[ x_2 = -\frac{1}{3a} \left( b + \omega^2 Q + \omega S \right) \] \[ x_3 = -\frac{1}{3a} \left( b + Q + S \right) \]

где \(\omega = e^{\frac{2\pi i}{3}}\) - комплексный корень из единицы.

Подставим значения и найдем корни. В данном случае, поскольку \(D > 0\), мы имеем три вещественных корня.

\[ \omega = e^{\frac{2\pi i}{3}} \approx -0.5 + 0.866i \]

\[ Q = \sqrt[3]{\frac{44}{2} + \sqrt{\left(\frac{44}{2}\right)^2 - \left(\frac{-1}{3}\right)^3}} \] \[ S = \sqrt[3]{\frac{44}{2} - \sqrt{\left(\frac{44}{2}\right)^2 - \left(\frac{-1}{3}\right)^3}} \]

Вычисляем значения \(Q\) и \(S\), а затем подставим их в формулы для \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\). Полученные значения будут корнями данного уравнения. Однако, процесс вычислений весьма трудоемкий, и его лучше выполнять с использованием вычислительного инструмента, такого как компьютерный алгоритм или программное обеспечение для математических вычислений.