Question

Пожалуйста, очень срочно объясните как найти число точек экстремума функции f(x) = (x-1)^4(x-4)^2 варианты ответа 1, 2, 3, 0 пожалуйста с объяснением

Answer 1

$f'(x)=4(x-1)^3(x-4)^2+2(x-4)(x-1)^4= \\ =6(x-1)^3(x-4)*(x-3)$
Здесь уже очевидно, что производная имеет три нуля и переходя через каждый из них меняет знак. Это достаточное условие существования экстремумов.
Ответ: 3.

Answer 2

Для нахождения числа точек экстремума функции f(x) = (x-1)^4(x-4)^2 необходимо проанализировать производную функции и найти ее корни.

1. Найдем производную функции f(x): f'(x) = 4(x-1)^3(x-4)^2 + 2(x-1)^4(x-4)

2. Раскроем скобки и упростим выражение: f'(x) = 4(x^3 - 4x^2 + 4x - 1)(x^2 - 8x + 16) + 2(x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 4x^3 + 16x^2 - 16x)

3. Приведем подобные слагаемые и упростим выражение: f'(x) = 4x^5 - 40x^4 + 120x^3 - 136x^2 + 64x - 16

4. Найдем корни производной функции, приравняв ее к нулю: 4x^5 - 40x^4 + 120x^3 - 136x^2 + 64x - 16 = 0

5. Для решения этого уравнения можно воспользоваться графическим методом или численными методами, такими как метод Ньютона или метод половинного деления.

6. После решения уравнения и нахождения корней производной функции, мы получим значения x, в которых производная равна нулю. В этих точках функция может иметь экстремумы.

7. Чтобы определить тип экстремума в найденных точках, можно проанализировать знаки второй производной функции. Если f''(x) > 0, то в данной точке функция имеет локальный минимум, если f''(x) < 0 - локальный максимум.

В данном случае, чтобы получить конкретные значения точек экстремума и определить их тип, необходимо решить уравнение f''(x) = 0 и проанализировать знаки второй производной функции в найденных корнях. Таким образом, необходимо провести дополнительные вычисления, чтобы дать точный ответ на вопрос о числе точек экстремума и их типе.