Question

Решите неравенство f'(x)>0, если f(x)=x/x+2

Answer 1

Решение
f(x) = x/(x + 2)
Находим производную от дроби по формуле
( 1 * (x + 2) - x * 1) / (x + 2)∧2 = (x + 2 -x) / (x + 2)∧2  = 2 / (x + 2)∧2 

Answer 2

Для решения неравенства f'(x) > 0, если f(x) = x/x+2, сначала найдем производную функции f(x):

f'(x) = (x/x+2)' = (x' * (x+2) - x * (x+2)') / (x+2)^2 = (1 * (x+2) - x * 1) / (x+2)^2 = (2 - x) / (x+2)^2

Затем решим неравенство f'(x) > 0:

(2 - x) / (x+2)^2 > 0

Для этого необходимо найти корни числителя и знаменателя, то есть значения x, при которых они обращаются в ноль:

2 - x = 0 => x = 2

x+2 = 0 => x = -2

Так как знаменатель не может быть равен нулю, то x = -2 не входит в множество решений неравенства. Остальные значения x делят числовую прямую на три интервала: (-∞; -2), (-2; 2) и (2; +∞). На каждом из этих интервалов знак неравенства не меняется, поэтому достаточно проверить одну точку из каждого интервала. Например, можно взять точки -3, 0 и 3. Подставим их в неравенство и посмотрим, когда оно выполняется:

f'(-3) = (2 - (-3)) / (-3+2)^2 = 5 / (-1)^2 = 5 > 0 => верно

f'(0) = (2 - 0) / (0+2)^2 = 2 / 4 = 0.5 > 0 => верно

f'(3) = (2 - 3) / (3+2)^2 = -1 / 25 < 0 => неверно

Из этого следует, что неравенство f'(x) > 0 выполняется на интервалах (-∞; -2) и (-2; 2). Объединяя их, получаем ответ:

x ∈ (-∞; -2) ∪ (-2; 2)

Если вы хотите увидеть более подробное решение, вы можете посмотреть [этот сайт](https://ru.symbolab.com/solver/inequalities-calculator), где есть онлайн калькулятор для решения неравенств. Там вы можете ввести ваше неравенство и получить пошаговое объяснение. Надеюсь, это поможет вам.