Question

Докажите,что выражение принимает положительные значения при всех x;укажите какое наименьшее значение принимает выражение и при каком x:1)x^2-10x+27 2)9x^2+12x+7 3)2x^2-x+1

Answer 1

1) D/4=25-27=-2<0 A=1>0 => у>0 при всех х
Унаим=(-100+108)/4=2, при Хв=10/2=5.
2)D/4=36-63=-27<0 A=9>0 => y>0 при всех х
Yнаим=(-144+252)/36=27, при Хв=-12/18=-2/3
3)D=1-8=-7<0 A=2>0 => y>0 при всех х
Yнаим=(-1+8)/8=7/8, при Хв=1/4

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое из выражений и попробуем доказать, что они принимают положительные значения для всех значений переменной \(x\).

1) \(x^2 - 10x + 27\):

Это квадратное выражение, и чтобы доказать, что оно всегда положительное, давайте воспользуемся методом завершения квадрата. Перепишем выражение в следующей форме:

\[ x^2 - 10x + 27 = (x - 5)^2 + 2 \]

Здесь мы завершили квадрат, добавив и вычитая \( (10/2)^2 = 25 \). Теперь видно, что выражение \((x - 5)^2\) всегда неотрицательное, и к нему прибавлено положительное число 2. Таким образом, \(x^2 - 10x + 27\) всегда положительно.

2) \(9x^2 + 12x + 7\):

Это также квадратное выражение. Мы можем воспользоваться дискриминантом (\(\Delta\)) квадратного уравнения для определения знака коэффициента при \(x^2\). Дискриминант равен \(b^2 - 4ac\), где у нас \(a = 9\), \(b = 12\), и \(c = 7\).

\[ \Delta = 12^2 - 4 \cdot 9 \cdot 7 = 144 - 252 = -108 \]

Так как дискриминант отрицателен, уравнение не имеет действительных корней. Таким образом, выражение \(9x^2 + 12x + 7\) всегда положительно.

3) \(2x^2 - x + 1\):

Это тоже квадратное выражение. Мы можем воспользоваться тем же методом завершения квадрата:

\[ 2x^2 - x + 1 = 2\left(x - \frac{1}{4}\right)^2 + \frac{15}{8} \]

Таким образом, мы завершили квадрат и получили выражение в виде суммы положительного числа и неотрицательного квадрата. Следовательно, \(2x^2 - x + 1\) всегда положительно.

Таким образом, все три указанных выражения принимают положительные значения при всех значениях переменной \(x\). Если у вас есть какие-либо дополнительные вопросы или если что-то не ясно, пожалуйста, дайте знать!