Question

Упростите√√17+12√2Всё под первым корнем

Answer 1

Решение ниже в приложении

Answer 2

$\sqrt{ \sqrt{17+12 \sqrt{2} }}= \sqrt{ \sqrt{9+12 \sqrt{2}+8 }}= \\ \sqrt{ \sqrt{3^2+2*3*2 \sqrt{2}+(2 \sqrt{2} )^2 }}= \\ \sqrt{ \sqrt{(3+2 \sqrt{2})^2 }}= \sqrt{3+2 \sqrt{2} }= \sqrt{1^2+2 \sqrt{2}+ \sqrt{2}^2 } = \\ \sqrt{( \sqrt{2}+1 )^2} = \sqrt{2}+1$

Answer 3

Для упрощения выражения \( \sqrt{17 + 12\sqrt{2}} \) давайте предположим, что оно имеет вид \( \sqrt{a} + \sqrt{b} \). Также предположим, что \( a \) и \( b \) - рациональные числа.

Тогда: \[ \sqrt{17 + 12\sqrt{2}} = \sqrt{a} + \sqrt{b} \]

Возводим обе стороны уравнения в квадрат: \[ 17 + 12\sqrt{2} = a + 2\sqrt{ab} + b \]

Так как мы хотим, чтобы коэффициент перед корнем был равен 12, мы можем записать систему уравнений:

\[ a + b = 17 \] \[ 2\sqrt{ab} = 12\sqrt{2} \]

Решаем первое уравнение относительно \( a \): \[ a = 17 - b \]

Подставляем это значение во второе уравнение: \[ 2\sqrt{(17 - b)b} = 12\sqrt{2} \]

Делим обе стороны на 2: \[ \sqrt{(17 - b)b} = 6\sqrt{2} \]

Возводим обе стороны в квадрат: \[ (17 - b)b = 72 \]

Раскрываем скобки: \[ 17b - b^2 = 72 \]

Получаем квадратное уравнение: \[ b^2 - 17b + 72 = 0 \]

Факторизуем его: \[ (b - 8)(b - 9) = 0 \]

Отсюда получаем два возможных значения для \( b \): \( b = 8 \) или \( b = 9 \).

Если \( b = 8 \), то \( a = 17 - b = 9 \). Если \( b = 9 \), то \( a = 17 - b = 8 \).

Таким образом, у нас два возможных варианта:

1. \( a = 9, b = 8 \) 2. \( a = 8, b = 9 \)

Теперь мы можем записать упрощенный вид выражения: \[ \sqrt{17 + 12\sqrt{2}} = \sqrt{9} + \sqrt{8} \]

или

\[ \sqrt{17 + 12\sqrt{2}} = \sqrt{8} + \sqrt{9} \]

Оба эти варианта равны и могут быть записаны в виде: \[ \sqrt{17 + 12\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} + 3 \sqrt{2} \]

Таким образом, упрощенный вид выражения \( \sqrt{17 + 12\sqrt{2}} \) равен \( 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} \).