Question

Сумма корней (в градусах ) уравнения (sin x - cos x)²= ( (3-√3)/2 ) *cos²2x на промежутке [0; 180] P. S. пожалуйста, если можно сам ход решения

Answer 1

Sin²x-2sinx cosx+cos²x=( (3-√3)/2 ) *cos²2x
1-sin2x=( (3-√3)/2 ) *cos²2x
1-sin2x=( (3-√3)/2 ) *(1-sin²2x)
1-sin2x=( (3-√3)/2 ) -( (3-√3)/2 ) *sin²2x
( (3-√3)/2 ) *sin²2x-sin2x+(√3-1)/2 =0
Замена sin2x=t
( (3-√3)/2 ) *t²-t+(√3-1)/2 =0
D=1-4*(3-√3)/2*(√3-1)/2=1-(3√3-3-3+√3)=7-4√3≈0
t=1/(3-√3)
sin2x=1/(3-√3)
2x=(-1)^n arcsin(1/(3-√3))+πn
x=(-1)^n arcsin(1/(3-√3))/2+πn/2
x≈(-1)^n 25 +90n
x=25, 115
сумма=25+115=140 градусов

Answer 2

Конечно, решим уравнение подробно. Дано уравнение:

\[ \sin^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) + \cos^2(x) = \left(\frac{3 - \sqrt{3}}{2}\right)\cos^2(2x) \]

Сначала упростим уравнение, используя тригонометрические тождества. Напомним, что \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\) и \(\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1\):

\[ 1 - 2\sin(x)\cos(x) = \left(\frac{3 - \sqrt{3}}{2}\right)(2\cos^2(x) - 1) \]

Умножим обе части уравнения на 2 для избавления от дроби:

\[ 2 - 4\sin(x)\cos(x) = (3 - \sqrt{3})\cos^2(x) - (3 - \sqrt{3}) \]

Теперь подставим \(\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)\):

\[ 2 - 4\sin(x)\cos(x) = (3 - \sqrt{3})(1 - \sin^2(x)) - (3 - \sqrt{3}) \]

Раскроем скобки:

\[ 2 - 4\sin(x)\cos(x) = 3 - \sqrt{3} - 3\sin^2(x) + \sqrt{3}\sin^2(x) - 3 + \sqrt{3} \]

Сгруппируем слагаемые:

\[ 2 - 4\sin(x)\cos(x) = -\sqrt{3}\sin^2(x) - \sin^2(x) \]

Теперь приведем подобные и выразим \(\sin^2(x)\):

\[ 2 - 4\sin(x)\cos(x) = -(\sqrt{3} + 1)\sin^2(x) \]

Теперь давайте рассмотрим вторую часть уравнения. У нас есть уравнение:

\[ \left(\frac{3 - \sqrt{3}}{2}\right)\cos^2(2x) \]

Используем тригонометрическую формулу для \(\cos(2x)\):

\[ \left(\frac{3 - \sqrt{3}}{2}\right)(2\cos^2(x) - 1) \]

Упростим уравнение:

\[ \left(\frac{3 - \sqrt{3}}{2}\right)(2\cos^2(x) - 1) = (3 - \sqrt{3})\cos^2(x) - \frac{3 - \sqrt{3}}{2} \]

Теперь у нас есть две части уравнения:

\[ 2 - 4\sin(x)\cos(x) = -(\sqrt{3} + 1)\sin^2(x) \] \[ (3 - \sqrt{3})\cos^2(x) - \frac{3 - \sqrt{3}}{2} \]

Объединим их в одно уравнение:

\[ -(\sqrt{3} + 1)\sin^2(x) = (3 - \sqrt{3})\cos^2(x) - \frac{3 - \sqrt{3}}{2} \]

Теперь у нас есть уравнение с одной переменной, и мы можем решить его. Однако, это может быть сложно в аналитической форме, и вам, возможно, придется использовать численные методы для нахождения корней.