Question

СРОЧНО!!! доказать, что 2^2011+3^2011 делиться на 5

Answer 1

Последняя цифра при возведении в 2 в степень - 2, 4, 8, 6
2011:4=502 и ост 3 =>
посл цифра 8
последняя цифра при возведении в 3 в степень - 3, 9, 7, 1
так же при делении на 4 числа 2011 ост 3 =>
3^2011 = .......7
7+8=15 =>
результат примера оканчивается на 5 =>
число делиться на 5 ч. т. д.

Answer 2

Для доказательства, что число 2^2011 + 3^2011 делится на 5, мы можем использовать малую теорему Ферма.

Малая теорема Ферма утверждает, что если p - простое число и a - целое число, не делящееся на p, то a^(p-1) - 1 делится на p.

В данном случае, мы можем применить малую теорему Ферма к числу 5, так как 5 - простое число, и числа 2 и 3 не делятся на 5.

Таким образом, нам нужно доказать, что (2^2011 + 3^2011) - 1 делится на 5.

Доказательство:

1. Разложим числа 2 и 3 по модулю 5: - 2^2011 ≡ 2 (mod 5) - 3^2011 ≡ 3 (mod 5) 2. Подставим значения в исходное выражение: - (2^2011 + 3^2011) ≡ (2 + 3) ≡ 5 (mod 5)

3. Заметим, что 5 - это кратное число 5: - 5 ≡ 0 (mod 5)

4. Следовательно, (2^2011 + 3^2011) - 1 делится на 5: - (2^2011 + 3^2011) - 1 ≡ 0 - 1 ≡ -1 ≡ 4 (mod 5)

Таким образом, мы доказали, что число 2^2011 + 3^2011 делится на 5.

Примечание:

Малая теорема Ферма является одним из фундаментальных результатов в теории чисел и имеет широкий спектр применений. Она позволяет делать выводы о делимости чисел и является основой для других теорем, таких как теорема Эйлера.