Question

Вычислить интеграл S(п;-п) cosx/2 dx

Answer 1

Этот определенный интеграл можно найти по формуле Ньютона-Лейбница:
$\int\limits^{ \pi }_{-\pi} {\frac{cosx}{2} } \, dx = F(\frac{cos \pi }{2})-F(\frac{cos(- \pi )}{2}) = \frac{sin \pi }{2} - \frac{sin(- \pi )}{2} = 0$

Answer 2

Для вычисления данного интеграла, давайте разберемся с каждой его частью по отдельности.

Интеграл

Интеграл представляет собой математическую операцию, обратную дифференцированию. В данном случае, нам нужно вычислить определенный интеграл от функции cos(x/2) на интервале от -пи до пи.

Функция cos(x/2)

Функция cos(x/2) - это тригонометрическая функция, которая принимает аргумент x/2 и возвращает значение косинуса этого аргумента. Косинус - это отношение прилежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике.

Определенный интеграл

Определенный интеграл - это способ вычислить площадь под кривой функции на заданном интервале. В данном случае, мы хотим найти площадь под кривой функции cos(x/2) на интервале от -пи до пи.

Вычисление интеграла

Для вычисления данного интеграла, мы можем использовать метод интегрирования по частям или замену переменной. Применение этих методов может существенно упростить вычисление интеграла.

Однако, в данном случае, интеграл от функции cos(x/2) на интервале от -пи до пи является четной функцией, то есть симметричной относительно вертикальной оси x=0. Это означает, что площадь под кривой на отрицательной половине интервала (-пи, 0) будет равна площади под кривой на положительной половине интервала (0, пи). Таким образом, мы можем вычислить интеграл только на положительной половине интервала и умножить его на 2.

Вычисление интеграла на положительной половине интервала

Для вычисления интеграла на положительной половине интервала (0, пи), мы можем использовать метод замены переменной. Пусть u = x/2, тогда x = 2u и dx = 2du. Заменив переменную, наше выражение для интеграла становится:

∫ cos(x/2) dx = ∫ cos(u) * 2 du = 2∫ cos(u) du

Теперь мы можем вычислить интеграл от функции cos(u) по переменной u. Интеграл от cos(u) равен sin(u) + C, где C - произвольная постоянная. Поэтому интеграл от cos(u) равен:

2 * (sin(u) + C) = 2sin(u) + C'

Подстановка обратной замены

Теперь, чтобы получить окончательный результат, нам нужно заменить переменную u обратно в исходную переменную x:

2sin(u) + C' = 2sin(x/2) + C'

Окончательный ответ

Таким образом, интеграл от функции cos(x/2) на интервале от -пи до пи равен:

∫ cos(x/2) dx = 2sin(x/2) + C

где C - произвольная постоянная.