Question

Из точки, удаленной от плоскости α на 12 см, проведены к ней две наклонные. Угол меду наклонной и плоскостью α равен 300, угол между их проекциями – прямой. Найдите расстояние между основаниями наклонных.

Answer 1

DA перпендикуляр
AB и AC проекции наклонных
AB\12=tg30
AB= 4 корня из 3
аналогично
AC= 4 корня из 3
по теореме пифагора
BC(искомое)=корень из(48+48)=4 корня из 6

Answer 2

Чтобы решить задачу, давайте введем обозначения:

- Пусть \( h \) - расстояние от плоскости \( \alpha \) до точки, откуда проведены наклонные (12 см в данном случае). - \( \angle \alpha \) - угол между плоскостью \( \alpha \) и одной из наклонных. - \( \angle \beta \) - угол между плоскостью \( \alpha \) и другой наклонной. - \( d \) - расстояние между основаниями наклонных, которое нам нужно найти.

Из условия задачи у нас есть следующая информация:

1. \( h = 12 \) см. 2. \( \angle \alpha = 30^\circ \) (300 градусов считаем как \( 300^\circ - 360^\circ = -60^\circ \)). 3. Угол между проекциями наклонных равен прямому углу (90 градусов).

Теперь рассмотрим треугольник, образованный плоскостью \( \alpha \), линией \( h \) и одной из наклонных. Этот треугольник прямоугольный, и мы знаем катеты и углы. Мы можем использовать тригонометрию для нахождения сторон этого треугольника.

\[ \cos(\angle \alpha) = \frac{h}{l}, \]

где \( l \) - длина одной из наклонных. Решим это уравнение относительно \( l \):

\[ l = \frac{h}{\cos(\angle \alpha)}. \]

Так как у нас есть две наклонные, оба вектора, образованные плоскостью \( \alpha \) и основаниями наклонных, будут перпендикулярны и образуют прямой угол. Следовательно, у нас есть еще один прямоугольный треугольник с гипотенузой \( l \) и катетом \( d \). Мы можем использовать тригонометрию еще раз:

\[ \cos(\angle \beta) = \frac{d}{l}. \]

Решим это уравнение относительно \( d \):

\[ d = l \cdot \cos(\angle \beta). \]

Теперь мы знаем, что \( l = \frac{h}{\cos(\angle \alpha)} \), подставим это обратно:

\[ d = \frac{h}{\cos(\angle \alpha)} \cdot \cos(\angle \beta). \]

Подставим значения:

\[ d = \frac{12}{\cos(30^\circ)} \cdot \cos(90^\circ) \approx \frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot 0 \approx \frac{12 \cdot 2}{\sqrt{3}} \approx \frac{24}{\sqrt{3}}. \]

Чтобы избавиться от знаменателя в дроби, умножим и разделим на \( \sqrt{3} \):

\[ d = \frac{24}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{24 \cdot \sqrt{3}}{3} = 8 \cdot \sqrt{3} \approx 13.856 \ \text{см}. \]

Таким образом, расстояние между основаниями наклонных примерно равно 13.856 см.